ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.132

Для преобразования произведений тригонометрических функций в сумму используем формулы: * $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$ * $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$ * $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$ * $\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} (\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta))$ --- ### Решение: **1)** $\sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right) \sin\left(x - \frac{\pi}{8}\right)$ Применим формулу произведения синусов: $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right) \sin\left(x - \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \left( \cos\left(x + \frac{\pi}{8} - \left(x - \frac{\pi}{8}\right)\right) - \cos\left(x + \frac{\pi}{8} + x - \frac{\pi}{8}\right) \right) $$ $$ = \frac{1}{2} \left( \cos\frac{2\pi}{8} - \cos 2x \right) = \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} - \cos 2x \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos 2x \right) = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos 2x $$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos 2x$ (или $\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos 2x\right)$) --- **2)** $\cos(x+y)\cos(x-y)$ Применим формулу произведения косинусов: $$ \cos(x+y)\cos(x-y) = \frac{1}{2} (\cos((x+y) - (x-y)) + \cos((x+y) + (x-y))) $$ $$ = \frac{1}{2} (\cos(2y) + \cos(2x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 2y) $$ **Ответ:** $\frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 2y)$ --- **3)** $\sin 75^\circ \sin 15^\circ$ Применим формулу произведения синусов: $$ \sin 75^\circ \sin 15^\circ = \frac{1}{2} (\cos(75^\circ - 15^\circ) - \cos(75^\circ + 15^\circ)) $$ $$ = \frac{1}{2} (\cos 60^\circ - \cos 90^\circ) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{1}{4} $$ **Ответ:** $\frac{1}{4}$ --- **4)** $\cos 40^\circ \cos 20^\circ$ Применим формулу произведения косинусов: $$ \cos 40^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2} (\cos(40^\circ - 20^\circ) + \cos(40^\circ + 20^\circ)) $$ $$ = \frac{1}{2} (\cos 20^\circ + \cos 60^\circ) = \frac{1}{2} \left( \cos 20^\circ + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}\cos 20^\circ + \frac{1}{4} $$ **Ответ:** $\frac{1}{2}\cos 20^\circ + \frac{1}{4}$ (или $\frac{1}{2}\left(\cos 20^\circ + \frac{1}{2}\right)$) --- **5)** $\sin(30^\circ + x)\cos(30^\circ - x)$ Применим формулу произведения синуса и косинуса: $$ \sin(30^\circ + x)\cos(30^\circ - x) = \frac{1}{2} (\sin((30^\circ + x) + (30^\circ - x)) + \sin((30^\circ + x) - (30^\circ - x))) $$ $$ = \frac{1}{2} (\sin 60^\circ + \sin 2x) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin 2x \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 2x $$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 2x$ (или $\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin 2x\right)$) --- **6)** $\cos\left(\frac{\pi}{4} + y\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - y\right)$ Применим формулу произведения косинуса и синуса: $$ \cos\left(\frac{\pi}{4} + y\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - y\right) = \frac{1}{2} \left( \sin\left(\left(\frac{\pi}{4} + y\right) + \left(\frac{\pi}{4} - y\right)\right) - \sin\left(\left(\frac{\pi}{4} + y\right) - \left(\frac{\pi}{4} - y\right)\right) \right) $$ $$ = \frac{1}{2} \left( \sin\frac{\pi}{2} - \sin 2y \right) = \frac{1}{2} (1 - \sin 2y) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin 2y $$ **Ответ:** $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin 2y$ (или $\frac{1}{2}(1 - \sin 2y)$)