ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.135

1) Преобразуем сумму котангенсов через синус и косинус: $$ \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} y = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\cos y}{\sin y} $$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{\cos x \sin y + \sin x \cos y}{\sin x \sin y} $$ Применяя формулу синуса суммы $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ в числителе, получаем: $$ \frac{\sin(x + y)}{\sin x \sin y} $$ 2) Преобразуем разность котангенсов через синус и косинус: $$ \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} y = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{\cos x \sin y - \sin x \cos y}{\sin x \sin y} $$ Вынесем знак «минус» в числителе и применим формулу синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$: $$ \frac{-(\sin x \cos y - \cos x \sin y)}{\sin x \sin y} = -\frac{\sin(x - y)}{\sin x \sin y} = \frac{\sin(y - x)}{\sin x \sin y} $$ 3) Представим тангенс через отношение синуса к косинусу: $$ 1 + \operatorname{tg} x = 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} $$ Преобразуем числитель с помощью метода вспомогательного угла: $$ \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right) = \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos x + \cos \frac{\pi}{4} \sin x \right) = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) $$ Подставим полученное выражение в числитель: $$ \frac{\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}{\cos x} $$ 4) Представим котангенс через отношение косинуса к синусу: $$ 1 + \operatorname{ctg} x = 1 + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} $$ Преобразуем числитель аналогично предыдущему пункту: $$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) $$ Тогда получаем: $$ \frac{\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin x} $$ **Ответ:** 1) $\dfrac{\sin(x + y)}{\sin x \sin y}$ 2) $\dfrac{\sin(y - x)}{\sin x \sin y}$ 3) $\dfrac{\sqrt{2} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos x}$ 4) $\dfrac{\sqrt{2} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)}{\sin x}$