ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.136

**1)** Разложим на множители выражение $1 + \cos \beta + \cos \frac{\beta}{2}$. Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos \beta = 2\cos^2 \frac{\beta}{2}$: $$ 1 + \cos \beta + \cos \frac{\beta}{2} = 2\cos^2 \frac{\beta}{2} + \cos \frac{\beta}{2} $$ Вынесем общий множитель $\cos \frac{\beta}{2}$ за скобки: $$ = \cos \frac{\beta}{2}\left(2\cos \frac{\beta}{2} + 1\right) $$ **Ответ:** $\cos \frac{\beta}{2}\left(2\cos \frac{\beta}{2} + 1\right)$. --- **2)** Разложим на множители выражение $3 - \operatorname{tg}^2 \beta$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ 3 - \operatorname{tg}^2 \beta = (\sqrt{3} - \operatorname{tg} \beta)(\sqrt{3} + \operatorname{tg} \beta) $$ Данное выражение также можно представить через тригонометрические функции, учитывая, что $\sqrt{3} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}$: $$ (\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} - \operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} + \operatorname{tg} \beta) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3} - \beta\right)}{\cos \frac{\pi}{3}\cos \beta} \cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3} + \beta\right)}{\cos \frac{\pi}{3}\cos \beta} = \frac{4\sin\left(\frac{\pi}{3} - \beta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \beta\right)}{\cos^2 \beta} $$ **Ответ:** $(\sqrt{3} - \operatorname{tg} \beta)(\sqrt{3} + \operatorname{tg} \beta)$ или $\frac{4\sin\left(\frac{\pi}{3} - \beta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \beta\right)}{\cos^2 \beta}$. --- **3)** Разложим на множители выражение $\cos \beta - \sin \beta \sin 2\beta$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\beta = 2\sin \beta \cos \beta$: $$ \cos \beta - \sin \beta \cdot (2\sin \beta \cos \beta) = \cos \beta - 2\sin^2 \beta \cos \beta $$ Вынесем общий множитель $\cos \beta$ за скобки: $$ = \cos \beta (1 - 2\sin^2 \beta) $$ Применим формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2 \beta = \cos 2\beta$: $$ = \cos \beta \cos 2\beta $$ **Ответ:** $\cos \beta \cos 2\beta$. --- **4)** Разложим на множители выражение $\operatorname{ctg}^2 \beta - 3$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ \operatorname{ctg}^2 \beta - 3 = (\operatorname{ctg} \beta - \sqrt{3})(\operatorname{ctg} \beta + \sqrt{3}) $$ **Ответ:** $(\operatorname{ctg} \beta - \sqrt{3})(\operatorname{ctg} \beta + \sqrt{3})$. --- **5)** Разложим на множители выражение $\cos \beta + \sin 2\beta - \cos 3\beta$. Сгруппируем слагаемые с косинусами: $$ (\cos \beta - \cos 3\beta) + \sin 2\beta $$ Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$: $$ \cos \beta - \cos 3\beta = -2\sin \frac{\beta + 3\beta}{2}\sin \frac{\beta - 3\beta}{2} = -2\sin 2\beta \sin(-\beta) = 2\sin 2\beta \sin \beta $$ Подставим полученное выражение обратно и вынесем общий множитель $\sin 2\beta$: $$ 2\sin 2\beta \sin \beta + \sin 2\beta = \sin 2\beta (2\sin \beta + 1) $$ **Ответ:** $\sin 2\beta (2\sin \beta + 1)$. --- **6)** Разложим на множители выражение $1 - \operatorname{tg} \beta + \frac{1}{\cos \beta}$. Заменим $\operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$ и приведем слагаемые к общему знаменателю: $$ 1 - \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \frac{1}{\cos \beta} = \frac{\cos \beta - \sin \beta + 1}{\cos \beta} = \frac{(1 + \cos \beta) - \sin \beta}{\cos \beta} $$ Преобразуем числитель с помощью формул половинного угла $1 + \cos \beta = 2\cos^2 \frac{\beta}{2}$ и $\sin \beta = 2\sin \frac{\beta}{2}\cos \frac{\beta}{2}$: $$ \frac{2\cos^2 \frac{\beta}{2} - 2\sin \frac{\beta}{2}\cos \frac{\beta}{2}}{\cos \beta} = \frac{2\cos \frac{\beta}{2}\left(\cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\beta}{2}\right)}{\cos \beta} $$ Используя формулу $\cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\beta}{2}\right)$, можно также записать: $$ = \frac{2\sqrt{2}\cos \frac{\beta}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\beta}{2}\right)}{\cos \beta} $$ **Ответ:** $\frac{2\cos \frac{\beta}{2}\left(\cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\beta}{2}\right)}{\cos \beta}$. --- **7)** Разложим на множители выражение $3 - 4\sin^2 \beta$. Разложим как разность квадратов: $$ 3 - 4\sin^2 \beta = (\sqrt{3} - 2\sin \beta)(\sqrt{3} + 2\sin \beta) $$ Данное выражение можно преобразовать в тригонометрическое произведение. Вынесем множитель $4$: $$ 3 - 4\sin^2 \beta = 4\left(\frac{3}{4} - \sin^2 \beta\right) = 4\left(\sin^2 \frac{\pi}{3} - \sin^2 \beta\right) $$ Применим тождество $\sin^2 x - \sin^2 y = \sin(x - y)\sin(x + y)$: $$ = 4\sin\left(\frac{\pi}{3} - \beta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \beta\right) $$ **Ответ:** $(\sqrt{3} - 2\sin \beta)(\sqrt{3} + 2\sin \beta)$ или $4\sin\left(\frac{\pi}{3} - \beta\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + \beta\right)$. --- **8)** Разложим на множители выражение $1 - 4\cos^2 \beta$. Применим формулу разности квадратов: $$ 1 - 4\cos^2 \beta = (1 - 2\cos \beta)(1 + 2\cos \beta) $$ **Ответ:** $(1 - 2\cos \beta)(1 + 2\cos \beta)$.