ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.137

1) Преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на $\cos x \neq 0$: $$ \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - 1}{\frac{\sin x}{\cos x} + 1} = \frac{\tan x - 1}{1 + \tan x} $$ Используем значение $1 = \tan \frac{\pi}{4}$ (или $\tan 45^\circ$) и применим формулу тангенса разности $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$: $$ \frac{\tan x - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan x \tan \frac{\pi}{4}} = \tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $$ 2) Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}$; $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}$. Подставим их в выражение: $$ \frac{\sin x + \sin y}{\cos x + \cos y} = \frac{2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}}{2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}} = \frac{\sin \frac{x + y}{2}}{\cos \frac{x + y}{2}} = \tan \frac{x + y}{2} $$ 3) Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2y = 2 \sin y \cos y$: $$ \frac{2 \sin y - \sin 2y}{2 \sin y + \sin 2y} = \frac{2 \sin y - 2 \sin y \cos y}{2 \sin y + 2 \sin y \cos y} = \frac{2 \sin y (1 - \cos y)}{2 \sin y (1 + \cos y)} = \frac{1 - \cos y}{1 + \cos y} $$ Используем формулы половинного аргумента $1 - \cos y = 2 \sin^2 \frac{y}{2}$ и $1 + \cos y = 2 \cos^2 \frac{y}{2}$: $$ \frac{1 - \cos y}{1 + \cos y} = \frac{2 \sin^2 \frac{y}{2}}{2 \cos^2 \frac{y}{2}} = \tan^2 \frac{y}{2} $$ 4) Применим формулы суммы и разности тангенсов: $\tan 2y + \tan y = \frac{\sin(2y + y)}{\cos 2y \cos y} = \frac{\sin 3y}{\cos 2y \cos y}$; $\tan 2y - \tan y = \frac{\sin(2y - y)}{\cos 2y \cos y} = \frac{\sin y}{\cos 2y \cos y}$. Подставим их в дробь: $$ \frac{\tan 2y + \tan y}{\tan 2y - \tan y} = \frac{\frac{\sin 3y}{\cos 2y \cos y}}{\frac{\sin y}{\cos 2y \cos y}} = \frac{\sin 3y}{\sin y} $$ Раскроем числитель: $\sin 3y = \sin(2y + y) = \sin 2y \cos y + \cos 2y \sin y = 2 \sin y \cos^2 y + \cos 2y \sin y = \sin y (2 \cos^2 y + \cos 2y) = \sin y (1 + 2 \cos 2y)$: $$ \frac{\sin y (1 + 2 \cos 2y)}{\sin y} = 2 \cos 2y + 1 $$ 5) Представим тангенсы через отношение синуса к косинусу и приведем знаменатель к общему виду: $$ \tan 2x \tan x + 1 = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 1 = \frac{\sin 2x \sin x + \cos 2x \cos x}{\cos 2x \cos x} $$ Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$: $$ \frac{\cos(2x - x)}{\cos 2x \cos x} = \frac{\cos x}{\cos 2x \cos x} = \frac{1}{\cos 2x} $$ Подставим результат в исходную дробь: $$ \frac{1}{\tan 2x \tan x + 1} = \frac{1}{\frac{1}{\cos 2x}} = \cos 2x $$ 6) Применим формулы сложения или формулы суммы и разности синусов: $\sin(x + y) + \sin(x - y) = 2 \sin x \cos y$; $\sin(x + y) - \sin(x - y) = 2 \cos x \sin y$. Подставим эти выражения в дробь: $$ \frac{\sin(x + y) + \sin(x - y)}{\sin(x + y) - \sin(x - y)} = \frac{2 \sin x \cos y}{2 \cos x \sin y} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = \tan x \cot y $$ **Ответ:** 1) $\tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$; 2) $\tan \frac{x + y}{2}$; 3) $\tan^2 \frac{y}{2}$; 4) $2 \cos 2y + 1$; 5) $\cos 2x$; 6) $\tan x \cot y$.