ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.130

Для преобразования сумм и разностей тригонометрических функций с разными наименованиями (синус и косинус) в произведение предварительно приведем их к одной функции с помощью формул приведения: $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$ или $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$. Затем применим формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение: $$ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x + y}{2} \cos\frac{x - y}{2} $$ $$ \sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x - y}{2} \cos\frac{x + y}{2} $$ $$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x + y}{2} \cos\frac{x - y}{2} $$ $$ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x + y}{2} \sin\frac{x - y}{2} = 2 \sin\frac{x + y}{2} \sin\frac{y - x}{2} $$ --- **1)** $\sin 15^\circ + \cos 65^\circ$ Выразим косинус через синус: $\cos 65^\circ = \sin(90^\circ - 65^\circ) = \sin 25^\circ$. $$ \sin 15^\circ + \cos 65^\circ = \sin 15^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\frac{15^\circ + 25^\circ}{2} \cos\frac{15^\circ - 25^\circ}{2} $$ $$ = 2 \sin 20^\circ \cos(-5^\circ) = 2 \sin 20^\circ \cos 5^\circ $$ Итог: $2 \sin 20^\circ \cos 5^\circ$ (или $2 \cos 70^\circ \cos 5^\circ$). --- **2)** $\cos 40^\circ - \sin 16^\circ$ Выразим синус через косинус: $\sin 16^\circ = \cos(90^\circ - 16^\circ) = \cos 74^\circ$. $$ \cos 40^\circ - \sin 16^\circ = \cos 40^\circ - \cos 74^\circ = 2 \sin\frac{40^\circ + 74^\circ}{2} \sin\frac{74^\circ - 40^\circ}{2} $$ $$ = 2 \sin 57^\circ \sin 17^\circ $$ Итог: $2 \sin 57^\circ \sin 17^\circ$ (или $2 \cos 33^\circ \sin 17^\circ$). --- **3)** $\cos 50^\circ + \sin 80^\circ$ Выразим синус через косинус: $\sin 80^\circ = \cos(90^\circ - 80^\circ) = \cos 10^\circ$. $$ \cos 50^\circ + \sin 80^\circ = \cos 50^\circ + \cos 10^\circ = 2 \cos\frac{50^\circ + 10^\circ}{2} \cos\frac{50^\circ - 10^\circ}{2} $$ $$ = 2 \cos 30^\circ \cos 20^\circ $$ Так как $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ = \sqrt{3} \cos 20^\circ $$ Итог: $\sqrt{3} \cos 20^\circ$ (или $2 \cos 30^\circ \cos 20^\circ$). --- **4)** $\sin 40^\circ - \cos 40^\circ$ Выразим косинус через синус: $\cos 40^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \sin 50^\circ$. $$ \sin 40^\circ - \cos 40^\circ = \sin 40^\circ - \sin 50^\circ = 2 \sin\frac{40^\circ - 50^\circ}{2} \cos\frac{40^\circ + 50^\circ}{2} $$ $$ = 2 \sin(-5^\circ) \cos 45^\circ = -2 \sin 5^\circ \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \sin 5^\circ $$ Итог: $-\sqrt{2} \sin 5^\circ$. --- **5)** $\cos 18^\circ - \sin 22^\circ$ Выразим синус через косинус: $\sin 22^\circ = \cos(90^\circ - 22^\circ) = \cos 68^\circ$. $$ \cos 18^\circ - \sin 22^\circ = \cos 18^\circ - \cos 68^\circ = 2 \sin\frac{18^\circ + 68^\circ}{2} \sin\frac{68^\circ - 18^\circ}{2} $$ $$ = 2 \sin 43^\circ \sin 25^\circ $$ Итог: $2 \sin 43^\circ \sin 25^\circ$ (или $2 \cos 47^\circ \sin 25^\circ$). --- **6)** $\cos 36^\circ + \sin 36^\circ$ Выразим синус через косинус: $\sin 36^\circ = \cos(90^\circ - 36^\circ) = \cos 54^\circ$. $$ \cos 36^\circ + \sin 36^\circ = \cos 36^\circ + \cos 54^\circ = 2 \cos\frac{36^\circ + 54^\circ}{2} \cos\frac{36^\circ - 54^\circ}{2} $$ $$ = 2 \cos 45^\circ \cos(-9^\circ) $$ Так как $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и косинус — чётная функция ($\cos(-9^\circ) = \cos 9^\circ$): $$ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 9^\circ = \sqrt{2} \cos 9^\circ $$ Итог: $\sqrt{2} \cos 9^\circ$.