ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.129

**4.129.** **1)** Преобразуем сумму синусов в произведение по формуле: $$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$$ Применим формулу для заданных углов: $$\sin \frac{2\pi}{5} + \sin \frac{\pi}{5} = 2 \sin \frac{\frac{2\pi}{5} + \frac{\pi}{5}}{2} \cos \frac{\frac{2\pi}{5} - \frac{\pi}{5}}{2} = 2 \sin \frac{\frac{3\pi}{5}}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{5}}{2} = 2 \sin \frac{3\pi}{10} \cos \frac{\pi}{10}$$ Ответ: $2 \sin \frac{3\pi}{10} \cos \frac{\pi}{10}$. --- **2)** Преобразуем сумму косинусов в произведение по формуле: $$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$$ Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12}$. $$\cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{4} = 2 \cos \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{9\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{9\pi}{12}}{2} = 2 \cos \frac{\frac{20\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{2\pi}{12}}{2} = 2 \cos \frac{5\pi}{6} \cos \frac{\pi}{12}$$ Так как $\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $$2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cos \frac{\pi}{12} = -\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12}$$ Ответ: $-\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12}$ (или $2 \cos \frac{5\pi}{6} \cos \frac{\pi}{12}$). --- **3)** Используем формулу суммы косинусов: $$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$$ Получаем: $$\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)+\cos\alpha = 2 \cos \frac{\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right) + \alpha}{2} \cos \frac{\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right) - \alpha}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{6} \cos \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$$ Так как $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, упрощаем выражение: $$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \sqrt{3} \cos \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$$ Ответ: $\sqrt{3} \cos \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$. --- **4)** Преобразуем разность синусов в произведение по формуле: $$\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$$ Получаем: $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right) = 2 \sin \frac{\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) - \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)}{2} \cos \frac{\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) + \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)}{2}$$ $$= 2 \sin \frac{2\alpha}{2} \cos \frac{\frac{2\pi}{6}}{2} = 2 \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6}$$ Так как $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$2 \sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin \alpha$$ Ответ: $\sqrt{3} \sin \alpha$. --- **5)** Используем формулу разности синусов: $$\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$$ Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{18}$, $\frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18}$. $$\sin\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{9} = 2 \sin \frac{\frac{3\pi}{18} - \frac{2\pi}{18}}{2} \cos \frac{\frac{3\pi}{18} + \frac{2\pi}{18}}{2} = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{18}}{2} \cos \frac{\frac{5\pi}{18}}{2} = 2 \sin \frac{\pi}{36} \cos \frac{5\pi}{36}$$ Ответ: $2 \sin \frac{\pi}{36} \cos \frac{5\pi}{36}$. --- **6)** Используем формулу разности синусов: $$\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$$ Получаем: $$\sin\alpha-\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin \frac{\alpha - \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)}{2} \cos \frac{\alpha + \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)}{2} = 2 \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$$ Так как функция синуса нечетная ($\sin(-t) = -\sin t$) и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$: $$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$$ Ответ: $-\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$.