ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.127

### 1) $$ 0,125 \cos 4\alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{1}{8}$. Преобразуем второе слагаемое с помощью формулы синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$: $$ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (\sin \alpha \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{2} \sin 2\alpha\right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2\alpha $$ Выразим $\cos 4\alpha$ через $\sin 2\alpha$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\beta = 1 - 2\sin^2 \beta$: $$ \cos 4\alpha = 1 - 2\sin^2 2\alpha $$ Подставим полученные выражения в исходное: $$ \frac{1}{8}(1 - 2\sin^2 2\alpha) + \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha = \frac{1}{8} - \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha + \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha = \frac{1}{8} = 0,125 $$ **Ответ:** $0,125$ (или $\frac{1}{8}$). --- ### 2) $$ \sin^2 \gamma \operatorname{tg} \gamma - \cos^2 \gamma \operatorname{ctg} \gamma + 2 \operatorname{ctg} 2\gamma $$ Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $$ \sin^2 \gamma \cdot \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} - \cos^2 \gamma \cdot \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} + 2 \operatorname{ctg} 2\gamma = \frac{\sin^3 \gamma}{\cos \gamma} - \frac{\cos^3 \gamma}{\sin \gamma} + 2 \operatorname{ctg} 2\gamma $$ Приведем первые две дроби к общему знаменателю: $$ \frac{\sin^4 \gamma - \cos^4 \gamma}{\sin \gamma \cos \gamma} + 2 \operatorname{ctg} 2\gamma $$ Разложим числитель по формуле разности квадратов и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$: $$ \sin^4 \gamma - \cos^4 \gamma = (\sin^2 \gamma - \cos^2 \gamma)(\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma) = -(\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma) \cdot 1 = -\cos 2\gamma $$ Знаменатель преобразуем по формуле синуса двойного угла: $\sin \gamma \cos \gamma = \frac{1}{2}\sin 2\gamma$. Получаем: $$ \frac{-\cos 2\gamma}{\frac{1}{2}\sin 2\gamma} + 2 \operatorname{ctg} 2\gamma = -2 \frac{\cos 2\gamma}{\sin 2\gamma} + 2 \operatorname{ctg} 2\gamma = -2 \operatorname{ctg} 2\gamma + 2 \operatorname{ctg} 2\gamma = 0 $$ **Ответ:** $0$. --- ### 3) $$ \frac{1}{\operatorname{tg}^2 x} - \frac{2 \cos 2x}{1 + \sin(2x + 1,5\pi)} $$ Применим формулу приведения для аргумента $2x + 1,5\pi = \frac{3\pi}{2} + 2x$: $$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = -\cos 2x $$ Тогда знаменатель второй дроби равен $1 - \cos 2x$. По формуле понижения степени $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$. Первое слагаемое запишем через синус и косинус: $$ \frac{1}{\operatorname{tg}^2 x} = \operatorname{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} $$ Подставим полученные результаты: $$ \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \frac{2 \cos 2x}{2 \sin^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \frac{\cos 2x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x - \cos 2x}{\sin^2 x} $$ Так как $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, имеем: $$ \frac{\cos^2 x - (\cos^2 x - \sin^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} = 1 $$ **Ответ:** $1$. --- ### 4) $$ \frac{1}{1 - \operatorname{tg} x} - \frac{\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \sin x}{\cos 2x} $$ Преобразуем первую дробь, заменив $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$: $$ \frac{1}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{1}{\frac{\cos x - \sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} $$ Преобразуем числитель второй дроби по формуле синуса суммы: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos x + \cos \frac{\pi}{4} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) $$ Тогда: $$ \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) = \cos x + \sin x $$ Знаменатель второй дроби разложим по формуле косинуса двойного угла как разность квадратов: $$ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $$ Вторая дробь принимает вид: $$ \frac{(\cos x + \sin x) \sin x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} $$ Выполним вычитание: $$ \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} - \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x - \sin x} = 1 $$ **Ответ:** $1$.