ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.126

**1)** Докажем тождество: $$ 4 \sin \alpha \cos^3 \alpha - 2 \sin 2\alpha \sin^2 \alpha = \sin 4\alpha $$ Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$: $$ 4 \sin \alpha \cos^3 \alpha = 2 \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \cos^2 \alpha = 2 \sin 2\alpha \cos^2 \alpha $$ Подставим полученное выражение в левую часть и вынесем общий множитель $2 \sin 2\alpha$ за скобки: $$ 2 \sin 2\alpha \cos^2 \alpha - 2 \sin 2\alpha \sin^2 \alpha = 2 \sin 2\alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) $$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$: $$ 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha $$ Получили $\sin 4\alpha = \sin 4\alpha$. Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \frac{\tan x}{1 + \tan^2 x} + \frac{\cot x}{1 + \cot^2 x} = \sin 2x $$ Преобразуем левую часть. Воспользуемся основными тригонометрическими формулами $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$: $$ \frac{\tan x}{1 + \tan^2 x} = \tan x \cdot \cos^2 x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x = \sin x \cos x $$ $$ \frac{\cot x}{1 + \cot^2 x} = \cot x \cdot \sin^2 x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin^2 x = \sin x \cos x $$ Сложим полученные выражения: $$ \sin x \cos x + \sin x \cos x = 2 \sin x \cos x $$ По формуле синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$: $$ \sin 2x = \sin 2x $$ Тождество доказано. --- **3)** Докажем тождество: $$ \tan^4 \alpha (8 \cos^2 (\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1) = 8 \sin^4 \alpha $$ Преобразуем выражение в скобках левой части с помощью формул приведения: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$, следовательно, $\cos^2 (\pi - \alpha) = (-\cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha$; $\cos(\pi + 4\alpha) = -\cos 4\alpha$. Подставим эти значения в скобки: $$ 8 \cos^2 (\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1 = 8 \cos^2 \alpha - (-\cos 4\alpha) - 1 = 8 \cos^2 \alpha + \cos 4\alpha - 1 $$ Выразим $\cos 4\alpha$ через $\cos \alpha$, последовательно применяя формулу косинуса двойного угла: $$ \cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha - 1 = 2 (2 \cos^2 \alpha - 1)^2 - 1 = 2 (4 \cos^4 \alpha - 4 \cos^2 \alpha + 1) - 1 = 8 \cos^4 \alpha - 8 \cos^2 \alpha + 1 $$ Подставим полученное выражение: $$ 8 \cos^2 \alpha + (8 \cos^4 \alpha - 8 \cos^2 \alpha + 1) - 1 = 8 \cos^4 \alpha $$ Теперь умножим на $\tan^4 \alpha$: $$ \tan^4 \alpha \cdot 8 \cos^4 \alpha = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha} \cdot 8 \cos^4 \alpha = 8 \sin^4 \alpha $$ Получили $8 \sin^4 \alpha = 8 \sin^4 \alpha$. Тождество доказано. --- **4)** Докажем тождество: $$ 2 \tan \frac{\alpha}{2} (\tan \alpha + \cot \alpha) \left( 1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{1}{\cos^4 \frac{\alpha}{2}} $$ Преобразуем множитель $(\tan \alpha + \cot \alpha)$: $$ \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ Используем универсальную тригонометрическую подстановку через тангенс половинного угла: $$ \sin \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}}, \quad \cos \alpha = \frac{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}} $$ Перемножим $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$: $$ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2} \left( 1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2} \right)}{\left( 1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2} \right)^2} $$ Отсюда выразим числитель: $$ 2 \tan \frac{\alpha}{2} \left( 1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2} \right) = \sin \alpha \cos \alpha \cdot \left( 1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2} \right)^2 $$ Подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества: $$ (\tan \alpha + \cot \alpha) \cdot 2 \tan \frac{\alpha}{2} \left( 1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \sin \alpha \cos \alpha \cdot \left( 1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2} \right)^2 = \left( 1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2} \right)^2 $$ Так как $1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}$, имеем: $$ \left( 1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} \right)^2 = \frac{1}{\cos^4 \frac{\alpha}{2}} $$ Получили $\frac{1}{\cos^4 \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\cos^4 \frac{\alpha}{2}}$. Тождество доказано.