ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.91

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула: $$ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \quad \text{или} \quad S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \neq 1) $$ где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель. 1) $1, 3, 3^2, \ldots$ Первый член: $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{3}{1} = 3$. Применим формулу суммы: $$ S_n = \frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2} $$ 2) $2, 2^2, 2^3, \ldots$ Первый член: $b_1 = 2$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{2^2}{2} = 2$. Применим формулу суммы: $$ S_n = \frac{2 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2 $$ 3) $1, -x, x^2, \ldots; x \neq \pm 1$ Первый член: $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-x}{1} = -x$. Так как $x \neq -1$, то $q \neq 1$. Применим формулу суммы: $$ S_n = \frac{1 \cdot (1 - (-x)^n)}{1 - (-x)} = \frac{1 - (-x)^n}{1 + x} $$ 4) $1, x^2, x^4, \ldots; x \neq \pm 1$ Первый член: $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{x^2}{1} = x^2$. Так как $x \neq \pm 1$, то $q \neq 1$. Применим формулу суммы: $$ S_n = \frac{1 \cdot ((x^2)^n - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1} $$ 5) $\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots$ Первый член: $b_1 = \frac{1}{2}$. Знаменатель прогрессии: $q = -\frac{1}{4} : \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \cdot 2 = -\frac{1}{2}$. Применим формулу суммы: $$ S_n = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) = \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n}{3} $$ 6) $1, -x^3, x^6, \ldots; x \neq -1$ Первый член: $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-x^3}{1} = -x^3$. Так как $x \neq -1$, то $q \neq 1$. Применим формулу суммы: $$ S_n = \frac{1 \cdot (1 - (-x^3)^n)}{1 - (-x^3)} = \frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3} $$ Ответ: 1) $\frac{3^n - 1}{2}$; 2) $2^{n+1} - 2$; 3) $\frac{1 - (-x)^n}{1 + x}$; 4) $\frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$; 5) $\frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n}{3}$; 6) $\frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}$.