ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.88

**3.88.** Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма первых трех членов связана с суммой первых двух членов соотношением: $$ S_3 = S_2 + b_3 $$ Отсюда выразим третий член прогрессии $b_3$: $$ b_3 = S_3 - S_2 = 13 - 4 = 9 $$ По формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, поэтому: $$ b_2 = b_1 q, \quad b_3 = b_1 q^2 $$ Запишем систему уравнений через $b_1$ и $q$: $$ \begin{cases} S_2 = b_1 + b_1 q = b_1(1 + q) = 4 \\ b_3 = b_1 q^2 = 9 \end{cases} $$ Разделим второе уравнение на первое (при условии, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq -1$): $$ \frac{b_1 q^2}{b_1(1 + q)} = \frac{9}{4} $$ $$ \frac{q^2}{1 + q} = \frac{9}{4} $$ Применим основное свойство пропорции: $$ 4q^2 = 9(1 + q) $$ $$ 4q^2 - 9q - 9 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2 $$ $$ q_1 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3 $$ $$ q_2 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} $$ Рассмотрим два возможных случая. **Случай 1:** $q = 3$ 1) Найдем $b_1$: $$ b_1(1 + 3) = 4 \implies 4b_1 = 4 \implies b_1 = 1 $$ 2) Найдем сумму пяти первых членов $S_5$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$: $$ S_5 = \frac{1 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = \frac{242}{2} = 121 $$ **Случай 2:** $q = -\frac{3}{4}$ 1) Найдем $b_1$: $$ b_1\left(1 - \frac{3}{4}\right) = 4 \implies b_1 \cdot \frac{1}{4} = 4 \implies b_1 = 16 $$ 2) Найдем сумму пяти первых членов $S_5$: $$ S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{16 \cdot \left(1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^5\right)}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)} = \frac{16 \cdot \left(1 + \frac{243}{1024}\right)}{1 + \frac{3}{4}} $$ $$ S_5 = \frac{16 \cdot \frac{1267}{1024}}{\frac{7}{4}} = \frac{1267}{64} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1267}{16 \cdot 7} = \frac{181}{16} = 11\frac{5}{16} $$ Ответ: $S_5 = 121$ или $S_5 = \frac{181}{16}$ ($11\frac{5}{16}$).