ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.73

Пусть искомые три числа, образующие геометрическую прогрессию, равны $b_1$, $b_2$, $b_3$. По определению геометрической прогрессии выразим их через первый член $b_1$ и знаменатель $q$ ($b_1 \neq 0$, $q \neq 0$): $$ b_1, \quad b_2 = b_1 q, \quad b_3 = b_1 q^2 $$ **1. Первое условие (арифметическая прогрессия):** Если от третьего числа отнять $4$, получим числа: $$ b_1, \quad b_1 q, \quad b_1 q^2 - 4 $$ По характеристическому свойству арифметической прогрессии удвоенный средний член равен сумме крайних членов: $$ 2 b_1 q = b_1 + (b_1 q^2 - 4) $$ Преобразуем полученное уравнение: $$ b_1 q^2 - 2 b_1 q + b_1 = 4 $$ $$ b_1(q^2 - 2q + 1) = 4 $$ $$ b_1(q - 1)^2 = 4 \quad (1) $$ Так как правая часть равна $4 \neq 0$, то $q \neq 1$. Выразим $b_1$: $$ b_1 = \frac{4}{(q - 1)^2} $$ **2. Второе условие (новая геометрическая прогрессия):** В условии указано вычитание $1$ и $5$. Уменьшение третьего члена исходной прогрессии на $4$, а затем вычитание ещё $1$ означает, что в сумме от третьего члена отняли $4 + 1 = 5$ (то есть от членов арифметической прогрессии отнимается $1$ и $1$, что соответствует вычитанию $1$ и $5$ от членов исходной геометрической прогрессии: $b_2 - 1$ и $b_3 - 5$). *(Примечание: если бы от третьего члена арифметической прогрессии отнималось $5$, то есть $(b_3 - 4) - 5 = b_3 - 9$, то уравнение $(b_1 q - 1)^2 = b_1(b_1 q^2 - 9)$ привело бы к квадратному уравнению $q^2 - 10q + 37 = 0$, дискриминант которого $D = 100 - 148 = -48 < 0$, и действительных решений задача бы не имела).* Таким образом, получаем тройку чисел: $$ b_1, \quad b_1 q - 1, \quad b_1 q^2 - 5 $$ По характеристическому свойству геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению крайних: $$ (b_1 q - 1)^2 = b_1(b_1 q^2 - 5) $$ Раскроем скобки: $$ b_1^2 q^2 - 2 b_1 q + 1 = b_1^2 q^2 - 5 b_1 $$ $$ -2 b_1 q + 1 = -5 b_1 $$ $$ 5 b_1 - 2 b_1 q = -1 $$ $$ b_1(2q - 5) = 1 \quad (2) $$ **3. Решение системы уравнений:** Разделим уравнение $(1)$ на уравнение $(2)$: $$ \frac{b_1(q - 1)^2}{b_1(2q - 5)} = \frac{4}{1} $$ $$ \frac{(q - 1)^2}{2q - 5} = 4 $$ Умножим обе части на $(2q - 5)$ при условии $2q - 5 \neq 0$: $$ (q - 1)^2 = 4(2q - 5) $$ $$ q^2 - 2q + 1 = 8q - 20 $$ $$ q^2 - 10q + 21 = 0 $$ Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 = 4^2 $$ $$ q_1 = \frac{10 + 4}{2} = 7, \quad q_2 = \frac{10 - 4}{2} = 3 $$ **4. Нахождение искомых чисел:** * **Случай 1:** $q = 3$ $$ b_1 = \frac{4}{(3 - 1)^2} = \frac{4}{2^2} = 1 $$ $$ b_2 = 1 \cdot 3 = 3 $$ $$ b_3 = 1 \cdot 3^2 = 9 $$ Проверим: 1) $1, 3, 9$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $3$. 2) $1, 3, 9 - 4 = 5$ — арифметическая прогрессия ($1, 3, 5$, разность $d = 2$). 3) $1, 3 - 1 = 2, 5 - 1 = 4$ — геометрическая прогрессия ($1, 2, 4$, знаменатель $2$). * **Случай 2:** $q = 7$ $$ b_1 = \frac{4}{(7 - 1)^2} = \frac{4}{6^2} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} $$ $$ b_2 = \frac{1}{9} \cdot 7 = \frac{7}{9} $$ $$ b_3 = \frac{1}{9} \cdot 7^2 = \frac{49}{9} $$ Проверим: 1) $\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $7$. 2) $\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9} - 4 = \frac{13}{9}$ — арифметическая прогрессия ($\frac{7}{9} - \frac{1}{9} = \frac{6}{9}$, $\frac{13}{9} - \frac{7}{9} = \frac{6}{9}$, разность $d = \frac{2}{3}$). 3) $\frac{1}{9}, \frac{7}{9} - 1 = -\frac{2}{9}, \frac{13}{9} - 1 = \frac{4}{9}$ — геометрическая прогрессия ($(-\frac{2}{9})^2 = \frac{4}{81} = \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9}$, знаменатель $-2$). Ответ: $1, 3, 9$ или $\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}$.