ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.71

Пусть искомые слагаемые представляют собой члены геометрической прогрессии: $b_1$, $b_2$, $b_3$. Обозначим первый член прогрессии через $b$, а знаменатель прогрессии — через $q$. Тогда: $$ b_1 = b, \quad b_2 = bq, \quad b_3 = bq^2. $$ По условию задачи сумма трех слагаемых равна $195$: $$ b + bq + bq^2 = 195 \implies b(1 + q + q^2) = 195. $$ Первое слагаемое меньше третьего на $120$, то есть их разность равна $120$: $$ bq^2 - b = 120 \implies b(q^2 - 1) = 120. $$ Составим и решим систему уравнений: $$ \begin{cases} b(1 + q + q^2) = 195, \\ b(q^2 - 1) = 120. \end{cases} $$ Поскольку $b \ne 0$ и $q^2 - 1 \ne 0$ (так как разность равна $120$), разделим первое уравнение системы на второе: $$ \frac{b(1 + q + q^2)}{b(q^2 - 1)} = \frac{195}{120}. $$ Сократим дробь в левой части на $b$, а дробь в правой части — на $15$: $$ \frac{q^2 + q + 1}{q^2 - 1} = \frac{13}{8}. $$ Применим основное свойство пропорции: $$ 8(q^2 + q + 1) = 13(q^2 - 1), $$ $$ 8q^2 + 8q + 8 = 13q^2 - 13, $$ $$ 5q^2 - 8q - 21 = 0. $$ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-21) = 64 + 420 = 484 = 22^2, $$ $$ q_1 = \frac{8 + 22}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3, $$ $$ q_2 = \frac{8 - 22}{2 \cdot 5} = \frac{-14}{10} = -1,4 = -\frac{7}{5}. $$ Рассмотрим оба возможных значения знаменателя $q$: 1) Если $q = 3$: Подставим значение $q$ в уравнение $b(q^2 - 1) = 120$: $$ b(3^2 - 1) = 120, $$ $$ 8b = 120 \implies b = 15. $$ Найдем слагаемые: $b_1 = 15$, $b_2 = 15 \cdot 3 = 45$, $b_3 = 15 \cdot 3^2 = 135$. 2) Если $q = -1,4 = -\frac{7}{5}$: Подставим значение $q$ в уравнение $b(q^2 - 1) = 120$: $$ b\left(\left(-\frac{7}{5}\right)^2 - 1\right) = 120, $$ $$ b\left(\frac{49}{25} - 1\right) = 120, $$ $$ b \cdot \frac{24}{25} = 120 \implies b = \frac{120 \cdot 25}{24} = 125. $$ Найдем слагаемые: $b_1 = 125$, $b_2 = 125 \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) = -175$, $b_3 = 125 \cdot \left(-\frac{7}{5}\right)^2 = 245$. Ответ: $15$, $45$, $135$ или $125$, $-175$, $245$.