ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.70

По формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии: $$ a_2 = a_1 q, \quad a_3 = a_1 q^2, \quad a_4 = a_1 q^3 $$ Составим систему уравнений по условию задачи: $$ \begin{cases} a_1 + a_1 q^3 = 35 \\ a_1 q + a_1 q^2 = 30 \end{cases} $$ Разложим левые части уравнений на множители: $$ \begin{cases} a_1(1 + q^3) = 35 \\ a_1 q(1 + q) = 30 \end{cases} \implies \begin{cases} a_1(1 + q)(1 - q + q^2) = 35 \\ a_1 q(1 + q) = 30 \end{cases} $$ Поскольку $a_1 \neq 0$ и $q \neq -1$ (иначе сумма была бы равна 0), разделим первое уравнение системы на второе: $$ \frac{a_1(1 + q)(1 - q + q^2)}{a_1 q(1 + q)} = \frac{35}{30} $$ $$ \frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{7}{6} $$ Применим основное свойство пропорции: $$ 6(1 - q + q^2) = 7q $$ $$ 6 - 6q + 6q^2 - 7q = 0 $$ $$ 6q^2 - 13q + 6 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 = 5^2 $$ $$ q_1 = \frac{13 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $$ $$ q_2 = \frac{13 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$ Рассмотрим два возможных случая. **Случай 1:** $q = \frac{3}{2}$ Подставим значение $q$ во второе уравнение системы: $$ a_1 \cdot \frac{3}{2} \cdot \left(1 + \frac{3}{2}\right) = 30 $$ $$ a_1 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} = 30 $$ $$ a_1 \cdot \frac{15}{4} = 30 \implies a_1 = \frac{30 \cdot 4}{15} = 8 $$ Найдём первые четыре члена прогрессии: $a_1 = 8$ $a_2 = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12$ $a_3 = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18$ $a_4 = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27$ --- **Случай 2:** $q = \frac{2}{3}$ Подставим значение $q$ во второе уравнение системы: $$ a_1 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(1 + \frac{2}{3}\right) = 30 $$ $$ a_1 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} = 30 $$ $$ a_1 \cdot \frac{10}{9} = 30 \implies a_1 = \frac{30 \cdot 9}{10} = 27 $$ Найдём первые четыре члена прогрессии: $a_1 = 27$ $a_2 = 27 \cdot \frac{2}{3} = 18$ $a_3 = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$ $a_4 = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ Ответ: $8; 12; 18; 27; \dots$ или $27; 18; 12; 8; \dots$