ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.72

Пусть даны первые три члена числовой последовательности: $$ b_1 = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}, \quad b_2 = \frac{1}{2 - \sqrt{2}}, \quad b_3 = \frac{1}{2} $$ Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение каждого её члена (начиная со второго) к предыдущему является постоянным числом: $$ \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} = q $$ 1. Найдем отношение $\frac{b_2}{b_1}$: В знаменателе дроби $b_2$ вынесем общий множитель $\sqrt{2}$: $$ 2 - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) $$ Тогда: $$ b_2 = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)} $$ Вычислим отношение: $$ \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}}{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)} = \frac{1}{2 + \sqrt{2}} $$ Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{2})$: $$ \frac{b_2}{b_1} = \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} $$ 2. Найдем отношение $\frac{b_3}{b_2}$: $$ \frac{b_3}{b_2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2 - \sqrt{2}}} = \frac{1}{2} \cdot (2 - \sqrt{2}) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} $$ 3. Сравним полученные отношения: $$ \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} $$ Так как отношение последующего члена к предыдущему постоянно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$. Что и требовалось доказать.