ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.69

Используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии: $$ a_2 = a_1 q, \quad a_3 = a_1 q^2, \quad a_4 = a_1 q^3 $$ Запишем произведение второго и третьего членов: $$ a_2 a_3 = (a_1 q) \cdot (a_1 q^2) = a_1^2 q^3 $$ Заметим, что произведение первого и четвёртого членов равно: $$ a_1 a_4 = a_1 \cdot (a_1 q^3) = a_1^2 q^3 $$ Следовательно, $a_1 a_4 = a_2 a_3 = 72$. Составим систему уравнений относительно $a_1$ и $a_4$: $$ \begin{cases} a_1 + a_4 = 27, \\ a_1 a_4 = 72 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $a_1$ и $a_4$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 27t + 72 = 0 $$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$ D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 729 - 288 = 441 = 21^2 $$ $$ t_1 = \frac{27 - 21}{2} = 3, \quad t_2 = \frac{27 + 21}{2} = 24 $$ Рассмотрим два возможных случая: 1) Если $a_1 = 3$ и $a_4 = 24$: $$ a_4 = a_1 q^3 \implies 24 = 3q^3 \implies q^3 = 8 \implies q = 2 $$ 2) Если $a_1 = 24$ и $a_4 = 3$: $$ a_4 = a_1 q^3 \implies 3 = 24q^3 \implies q^3 = \frac{1}{8} \implies q = \frac{1}{2} $$ Ответ: $q = 2$ или $q = \frac{1}{2}$.