ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.67

Пусть $b_1, b_2, b_3$ — первые три члена геометрической прогрессии со знаменателем $q$. По условию задачи: $$ \begin{cases} b_1 + b_3 = 52, \\ b_2^2 = 100. \end{cases} $$ По характеристическому свойству геометрической прогрессии квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению соседних с ним членов: $$ b_2^2 = b_1 \cdot b_3 $$ Следовательно, получаем систему уравнений относительно первого и третьего членов: $$ \begin{cases} b_1 + b_3 = 52, \\ b_1 \cdot b_3 = 100. \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, $b_1$ и $b_3$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 52t + 100 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-52)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 2704 - 400 = 2304 = 48^2 $$ $$ t_1 = \frac{52 + 48}{2} = \frac{100}{2} = 50 $$ $$ t_2 = \frac{52 - 48}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ Таким образом, возможны два распределения значений для $b_1$ и $b_3$: 1) $b_1 = 2$ и $b_3 = 50$; 2) $b_1 = 50$ и $b_3 = 2$. Из уравнения $b_2^2 = 100$ находим второй член прогрессии: $$ b_2 = 10 \quad \text{или} \quad b_2 = -10 $$ Рассмотрим все возможные случаи: 1. Если $b_1 = 2$ и $b_3 = 50$: - при $b_2 = 10$ получаем числа $2, 10, 50$ (знаменатель прогрессии $q = 5$); - при $b_2 = -10$ получаем числа $2, -10, 50$ (знаменатель прогрессии $q = -5$). 2. Если $b_1 = 50$ и $b_3 = 2$: - при $b_2 = 10$ получаем числа $50, 10, 2$ (знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{5}$); - при $b_2 = -10$ получаем числа $50, -10, 2$ (знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{5}$). Ответ: $2, 10, 50$; или $2, -10, 50$; или $50, 10, 2$; или $50, -10, 2$.