ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.65

Предположим, что числа $10$, $13$ и $14$ являются членами некоторой геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$. Так как все эти числа положительны и $10 < 13 < 14$, то знаменатель прогрессии $q > 1$, а сами числа соответствуют возрастающим номерам членов прогрессии: $$b_k = 10, \quad b_m = 13, \quad b_n = 14,$$ где $k < m < n$ — натуральные числа. По формуле $n$-го члена геометрической прогрессии выразим соотношения между ними: $$b_m = b_k \cdot q^{m-k} \implies q^{m-k} = \frac{13}{10}$$ $$b_n = b_m \cdot q^{n-m} \implies q^{n-m} = \frac{14}{13}$$ Обозначим натуральные числа $m - k = u$ и $n - m = v$ ($u, v \in \mathbb{N}$). Тогда: $$q^u = \frac{13}{10}$$ $$q^v = \frac{14}{13}$$ Возведём первое равенство в степень $v$, а второе — в степень $u$: $$(q^u)^v = \left(\frac{13}{10}\right)^v \implies q^{uv} = \frac{13^v}{10^v}$$ $$(q^v)^u = \left(\frac{14}{13}\right)^u \implies q^{uv} = \frac{14^u}{13^u}$$ Приравняем правые части: $$\frac{13^v}{10^v} = \frac{14^u}{13^u}$$ Умножим обе части уравнения на $10^v \cdot 13^u$: $$13^{u+v} = 10^v \cdot 14^u$$ Разложим основания степеней в правой части на простые множители ($10 = 2 \cdot 5$, $14 = 2 \cdot 7$): $$13^{u+v} = (2 \cdot 5)^v \cdot (2 \cdot 7)^u$$ $$13^{u+v} = 2^{u+v} \cdot 5^v \cdot 7^u$$ Так как $u$ и $v$ — натуральные числа ($u \ge 1, v \ge 1$): * левая часть равенства делится на простое число $13$ и не имеет других простых делителей; * правая часть делится на простые числа $2$, $5$ и $7$, но не содержит множителя $13$. В силу единственности разложения натурального числа на простые множители полученное равенство невозможно при натуральных $u$ и $v$. Следовательно, наше предположение неверно. Ответ: не могут.