ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.31

Для нахождения области определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{x - x^2 + 2}}{x}$ необходимо учесть два условия: 1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. 2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Составим систему ограничений: $$ \begin{cases} x - x^2 + 2 \ge 0 \\ x \neq 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ -x^2 + x + 2 \ge 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x^2 - x - 2 \le 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$ с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -2 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 2 $$ Разложим левую часть неравенства на множители: $$ (x + 1)(x - 2) \le 0 $$ Решением этого неравенства методом интервалов является отрезок: $x \in [-1; 2]$. Учтем второе условие системы: $x \neq 0$. Исключим точку $x = 0$ из полученного отрезка $[-1; 2]$: $$ x \in [-1; 0) \cup (0; 2] $$ Таким образом, область определения функции: $D(f) = [-1; 0) \cup (0; 2]$. Ответ: $[-1; 0) \cup (0; 2]$