ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.30

1) $y = 7 - 3x - x^2$ Данная функция является квадратичной: $y = -x^2 - 3x + 7$, её график — парабола. 1. Направление ветвей: так как старший коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. 2. Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -1{,}5$$ $$y_0 = 7 - 3 \cdot (-1{,}5) - (-1{,}5)^2 = 7 + 4{,}5 - 2{,}25 = 9{,}25$$ Вершина параболы находится в точке $(-1{,}5; 9{,}25)$. 3. Ось симметрии параболы: прямая $x = -1{,}5$. 4. Точки пересечения с осями координат: - с осью $Oy$ ($x = 0$): $$y = 7 - 3 \cdot 0 - 0^2 = 7 \implies (0; 7)$$ - с осью $Ox$ ($y = 0$): $$-x^2 - 3x + 7 = 0 \iff x^2 + 3x - 7 = 0$$ $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 9 + 28 = 37$$ $$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{37}}{2} \implies x_1 \approx 1{,}54, \quad x_2 \approx -4{,}54$$ 5. Составим таблицу контрольных точек для построения: | $x$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1{,}5$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-3$ | $3$ | $7$ | $9$ | $9{,}25$ | $9$ | $7$ | $3$ | $-3$ | Для построения графика отмечаем вершину $(-1{,}5; 9{,}25)$, найденные точки и соединяем их плавной линией, направляя ветви параболы вниз. --- 2) $y = \frac{2x + 3}{x + 1}$ Данная функция является дробно-линейной, её график — гипербола. 1. Область определения: знаменатель дроби не равен нулю: $$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$$ $$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$$ 2. Выделим целую часть дроби: $$y = \frac{2(x + 1) + 1}{x + 1} = \frac{2(x + 1)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} = 2 + \frac{1}{x + 1}$$ График функции получается параллельным переносом гиперболы $y = \frac{1}{x}$ на $1$ единицу влево вдоль оси $Ox$ и на $2$ единицы вверх вдоль оси $Oy$. 3. Асимптоты графика: - вертикальная асимптота: $x = -1$; - горизонтальная асимптота: $y = 2$. 4. Точки пересечения с осями координат: - с осью $Oy$ ($x = 0$): $$y = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 + 1} = 3 \implies (0; 3)$$ - с осью $Ox$ ($y = 0$): $$2x + 3 = 0 \implies x = -1{,}5 \implies (-1{,}5; 0)$$ 5. Составим таблицу контрольных точек для каждой ветви гиперболы: - левая ветвь (при $x < -1$): | $x$ | $-5$ | $-3$ | $-2$ | $-1{,}5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $1{,}75$ | $1{,}5$ | $1$ | $0$ | - правая ветвь (при $x > -1$): | $x$ | $-0{,}5$ | $0$ | $1$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $4$ | $3$ | $2{,}5$ | $2{,}25$ | Для построения графика наносим пунктиром асимптоты $x = -1$ и $y = 2$, отмечаем контрольные точки и проводим две ветви гиперболы, плавно приближающиеся к асимптотам.