ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.28

**1) Доказать, что $2^n > n$ при $n \geqslant 0$.** Докажем неравенство методом математической индукции. * **База индукции:** При $n = 0$: $$ 2^0 > 0 \implies 1 > 0 $$ Неравенство верно. При $n = 1$: $$ 2^1 > 1 \implies 2 > 1 $$ Неравенство также верно. * **Предположение индукции:** Пусть при некотором $n = k$ ($k \geqslant 1$) неравенство выполняется: $$ 2^k > k $$ * **Шаг индукции:** Докажем справедливость неравенства для $n = k + 1$, то есть: $$ 2^{k+1} > k + 1 $$ Используем свойства степени и предположение индукции: $$ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k = k + k $$ Так как $k \geqslant 1$, то $k + k \geqslant k + 1$. Следовательно: $$ 2^{k+1} > k + 1 $$ Шаг индукции доказан. На основании метода математической индукции неравенство $2^n > n$ верно для всех целых неотрицательных чисел $n \geqslant 0$. --- **2) Доказать, что $2^n > 2n + 1$ при $n \geqslant 3$.** Докажем неравенство методом математической индукции. * **База индукции:** При $n = 3$: $$ 2^3 > 2 \cdot 3 + 1 \implies 8 > 7 $$ Неравенство верно. * **Предположение индукции:** Пусть при $n = k$ ($k \geqslant 3$) неравенство верно: $$ 2^k > 2k + 1 $$ * **Шаг индукции:** Докажем справедливость неравенства для $n = k + 1$: $$ 2^{k+1} > 2(k + 1) + 1 = 2k + 3 $$ По предположению индукции: $$ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2(2k + 1) = 4k + 2 $$ Сравним выражения $4k + 2$ и $2k + 3$: $$ (4k + 2) - (2k + 3) = 2k - 1 $$ Так как $k \geqslant 3$, то $2k - 1 \geqslant 2 \cdot 3 - 1 = 5 > 0$, откуда $4k + 2 > 2k + 3$. Следовательно: $$ 2^{k+1} > 4k + 2 > 2k + 3 $$ Шаг индукции доказан. Неравенство верно для всех натуральных $n \geqslant 3$. --- **3) Доказать, что $2^n > n^3$ при $n \geqslant 10$.** Докажем неравенство методом математической индукции. * **База индукции:** При $n = 10$: $$ 2^{10} > 10^3 \implies 1024 > 1000 $$ Неравенство верно. * **Предположение индукции:** Пусть при $n = k$ ($k \geqslant 10$) неравенство выполняется: $$ 2^k > k^3 $$ * **Шаг индукции:** Докажем, что неравенство верно при $n = k + 1$: $$ 2^{k+1} > (k + 1)^3 $$ Используем предположение индукции: $$ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k^3 $$ Докажем, что $2k^3 > (k + 1)^3$ при $k \geqslant 10$. Раскроем куб суммы и найдем разность: $$ 2k^3 - (k + 1)^3 = 2k^3 - (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = k^3 - 3k^2 - 3k - 1 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ k^3 - 3k^2 - 3k - 1 = k^2(k - 3) - 3k - 1 $$ Так как $k \geqslant 10$, то $k - 3 \geqslant 7$, следовательно: $$ k^2(k - 3) \geqslant 7k^2 \geqslant 7 \cdot 10k = 70k $$ Тогда: $$ 70k - 3k - 1 = 67k - 1 > 0 $$ Значит, $2k^3 > (k + 1)^3$, отсюда: $$ 2^{k+1} > 2k^3 > (k + 1)^3 $$ Шаг индукции доказан. Неравенство верно для всех натуральных $n \geqslant 10$. --- **4) Доказать, что $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$ при $n \geqslant 2$.** Докажем неравенство методом математической индукции. * **База индукции:** При $n = 2$: $$ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{2} $$ Умножим обе части на $\sqrt{2} > 0$: $$ \sqrt{2} + 1 > 2 \iff \sqrt{2} > 1 $$ Неравенство верно. * **Предположение индукции:** Пусть неравенство верно при $n = k$ ($k \geqslant 2$): $$ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{k} $$ * **Шаг индукции:** Докажем неравенство для $n = k + 1$: $$ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1} $$ Прибавим к обеим частям неравенства из предположения индукции слагаемое $\frac{1}{\sqrt{k+1}}$: $$ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} $$ Достаточно показать, что $\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$: $$ \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1} \iff \sqrt{k}\sqrt{k+1} + 1 > k + 1 $$ Вычтем $1$ из обеих частей: $$ \sqrt{k(k+1)} > k $$ Так как обе части положительны, возведем их в квадрат: $$ k(k+1) > k^2 \iff k^2 + k > k^2 \iff k > 0 $$ Так как $k \geqslant 2$, условие $k > 0$ выполняется. Следовательно: $$ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1} $$ Шаг индукции доказан. Неравенство верно для всех натуральных $n \geqslant 2$.