ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.29

Докажем неравенство методом математической индукции. **1. База индукции** Проверим справедливость неравенства при наименьшем значении $n = 2$: $$ (1+h)^2 = 1 + 2h + h^2 $$ Так как по условию $h \neq 0$, то $h^2 > 0$. Следовательно: $$ 1 + 2h + h^2 > 1 + 2h $$ $$ (1+h)^2 > 1 + 2h $$ При $n = 2$ неравенство верно. **2. Предположение индукции** Предположим, что неравенство верно при некотором натуральном $n = k$, где $k \geq 2$: $$ (1+h)^k > 1 + kh $$ **3. Шаг индукции** Докажем, что в таком случае неравенство выполняется и для $n = k + 1$, то есть: $$ (1+h)^{k+1} > 1 + (k+1)h $$ Так как по условию $h > -1$, то множитель $1 + h > 0$. Умножим обе части неравенства из предположения индукции на положительное число $(1 + h)$: $$ (1+h)^k \cdot (1+h) > (1+kh)(1+h) $$ Раскроем скобки в правой части: $$ (1+h)^{k+1} > 1 + h + kh + kh^2 $$ $$ (1+h)^{k+1} > 1 + (k+1)h + kh^2 $$ Так как $k \geq 2$ и $h \neq 0$, то слагаемое $kh^2 > 0$. Отсюда следует, что: $$ 1 + (k+1)h + kh^2 > 1 + (k+1)h $$ Объединяя неравенства, получаем: $$ (1+h)^{k+1} > 1 + (k+1)h $$ Шаг индукции доказан. Таким образом, на основании метода математической индукции неравенство $(1+h)^n > 1 + nh$ верно для любого натурального $n \geq 2$ при $h > -1$, $h \neq 0$.