ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.27

**1)** Докажем, что число $6^n + 20n + 24$ кратно $25$ при любом $n \in \mathbb{N}$, используя метод математической индукции. 1. **База индукции:** При $n = 1$: $$ 6^1 + 20 \cdot 1 + 24 = 6 + 20 + 24 = 50 $$ Число $50$ делится на $25$ ($50 = 25 \cdot 2$). Значит, при $n = 1$ утверждение верно. 2. **Индукционное предположение:** Пусть утверждение верно для $n = k$, то есть число $6^k + 20k + 24$ делится на $25$: $$ 6^k + 20k + 24 = 25m, \quad \text{где } m \in \mathbb{N} $$ 3. **Шаг индукции:** Докажем, что утверждение верно для $n = k + 1$, то есть число $6^{k+1} + 20(k+1) + 24$ делится на $25$. Преобразуем данное выражение: $$ 6^{k+1} + 20(k+1) + 24 = 6 \cdot 6^k + 20k + 20 + 24 = 6 \cdot 6^k + 20k + 44 $$ Выделим выражение из индукционного предположения: $$ 6(6^k + 20k + 24) - 120k - 144 + 20k + 44 = 6(6^k + 20k + 24) - 100k - 100 $$ $$ = 6(6^k + 20k + 24) - 25(4k + 4) $$ Проанализируем полученную разность: - Первое слагаемое $6(6^k + 20k + 24)$ кратно $25$ по индукционному предположению. - Второе слагаемое $25(4k + 4)$ делится на $25$, так как содержит множитель $25$. Разность двух чисел, кратных $25$, также кратна $25$. Следовательно, выражение $6^{k+1} + 20(k+1) + 24$ кратно $25$. На основании принципа математической индукции число $6^n + 20n + 24$ кратно $25$ при любом натуральном $n$. --- **2)** Докажем, что если $0 < a < b$, то $a^n < b^n$ при любом $n \in \mathbb{N}$, методом математической индукции. 1. **База индукции:** При $n = 1$: $$ a^1 < b^1 \iff a < b $$ Неравенство верно по условию. 2. **Индукционное предположение:** Пусть при $n = k$ неравенство верно: $$ a^k < b^k $$ Так как $a > 0$, то $a^k > 0$ и $b^k > 0$. 3. **Шаг индукции:** Докажем, что неравенство верно при $n = k + 1$, то есть: $$ a^{k+1} < b^{k+1} $$ По предположению индукции имеем неравенство $a^k < b^k$, где обе части положительны. По условию также дано неравенство $a < b$, члены которого положительны ($a > 0, b > 0$). По свойству числовых неравенств, положительные неравенства одинакового знака можно почленно перемножать: $$ a^k \cdot a < b^k \cdot b $$ $$ a^{k+1} < b^{k+1} $$ Шаг индукции доказан. На основании принципа математической индукции неравенство $a^n < b^n$ верно при любом натуральном $n$.