ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.26

**3.26.** Докажем методом математической индукции, что общий член последовательности $\{b_n\}$, заданной условиями $b_1 = 3$ и $b_{n+1} = 7b_n + 3$, выражается формулой: $$ b_n = \frac{7^n - 1}{2} $$ **1. База индукции:** Проверим справедливость формулы при $n = 1$: $$ b_1 = \frac{7^1 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ По условию $b_1 = 3$, следовательно, при $n = 1$ утверждение верно. **2. Индукционное предположение:** Пусть формула верна для некоторого натурального числа $n = k$, то есть: $$ b_k = \frac{7^k - 1}{2} $$ **3. Индукционный переход:** Докажем, что формула верна и для $n = k + 1$, то есть: $$ b_{k+1} = \frac{7^{k+1} - 1}{2} $$ Используя рекуррентную формулу $b_{n+1} = 7b_n + 3$ и предположение индукции, подставим $b_k$: $$ b_{k+1} = 7 \cdot b_k + 3 = 7 \cdot \frac{7^k - 1}{2} + 3 $$ Приведем выражение к общему знаменателю $2$: $$ b_{k+1} = \frac{7 \cdot (7^k - 1) + 2 \cdot 3}{2} = \frac{7^{k+1} - 7 + 6}{2} = \frac{7^{k+1} - 1}{2} $$ Равенство доказано для $n = k + 1$. **Вывод:** На основании принципа математической индукции формула $b_n = \frac{7^n - 1}{2}$ справедлива для любого натурального $n$. Что и требовалось доказать.