ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.25

Вычислим первые несколько членов последовательности по заданной формуле: $a_1 = 1 = 1^2$; $a_2 = a_1 + 8 \cdot 1 = 1 + 8 = 9 = 3^2$; $a_3 = a_2 + 8 \cdot 2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$; $a_4 = a_3 + 8 \cdot 3 = 25 + 24 = 49 = 7^2$. Заметим, что члены последовательности представляют собой квадраты последовательных нечётных чисел: $a_n = (2n - 1)^2$. Выведем формулу общего члена $a_n$. Запишем соотношения для последовательных членов при $n \ge 2$: $$ a_2 - a_1 = 8 \cdot 1 $$ $$ a_3 - a_2 = 8 \cdot 2 $$ $$ a_4 - a_3 = 8 \cdot 3 $$ $$ \dots $$ $$ a_n - a_{n-1} = 8 \cdot (n - 1) $$ Сложим эти равенства почленно: $$ (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \dots + (a_n - a_{n-1}) = 8 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1)) $$ В левой части взаимно уничтожаются все промежуточные слагаемые, остаётся: $$ a_n - a_1 = 8 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} k $$ Используя формулу суммы первых $(n-1)$ членов арифметической прогрессии $\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{n(n - 1)}{2}$, получаем: $$ a_n - a_1 = 8 \cdot \frac{n(n - 1)}{2} $$ $$ a_n - a_1 = 4n(n - 1) $$ Подставим значение $a_1 = 1$: $$ a_n - 1 = 4n^2 - 4n $$ $$ a_n = 4n^2 - 4n + 1 $$ Свернем выражение по формуле квадрата разности: $$ a_n = (2n - 1)^2 $$ Проверим формулу при $n = 1$: $a_1 = (2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$, что соответствует условию. Так как номер $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), число $2n - 1$ всегда является целым числом. Следовательно, $a_n = (2n - 1)^2$ является точным квадратом целого числа для любого натурального $n$. Что и требовалось доказать.