ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.24

Пусть $S_n$ — количество частей, на которые делят плоскость $n$ прямых, удовлетворяющих условию задачи (прямые находятся в общем положении: никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке). Докажем формулу: $$ S_n = \frac{n^2 + n + 2}{2} $$ с помощью метода математической индукции по числу прямых $n \in \mathbb{N}$. **1. База индукции:** При $n = 1$ одна прямая делит плоскость на $2$ части. Проверим формулу: $$ S_1 = \frac{1^2 + 1 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ База индукции выполняется. **2. Индукционный переход:** Предположим, что утверждение справедливо для $n = k$, то есть $k$ прямых делят плоскость на: $$ S_k = \frac{k^2 + k + 2}{2} \text{ частей.} $$ Докажем, что утверждение будет верно и для $n = k + 1$ прямых: $$ S_{k+1} = \frac{(k + 1)^2 + (k + 1) + 2}{2} $$ Пусть на плоскости уже проведено $k$ прямых. Проведём $(k + 1)$-ю прямую. По условию она не параллельна ни одной из уже проведённых $k$ прямых и не проходит через ранее образованные точки пересечения. Следовательно, новая прямая пересекает каждую из существующих $k$ прямых в $k$ различных точках. Эти $k$ точек делят саму $(k + 1)$-ю прямую на $k + 1$ частей (два луча и $k - 1$ отрезков). Каждая из этих частей прямой проходит через одну из существующих областей плоскости и делит её на две новые области. Таким образом, каждая часть проведённой прямой добавляет ровно одну новую область к уже имеющимся: $$ S_{k+1} = S_k + (k + 1) $$ Подставим в это равенство выражение для $S_k$ из индукционного предположения: $$ S_{k+1} = \frac{k^2 + k + 2}{2} + (k + 1) $$ Приведём слагаемые к общему знаменателю: $$ S_{k+1} = \frac{k^2 + k + 2 + 2(k + 1)}{2} = \frac{k^2 + k + 2 + 2k + 2}{2} = \frac{k^2 + 3k + 4}{2} $$ Преобразуем числитель так, чтобы явно выделить выражение относительно $(k + 1)$: $$ \frac{k^2 + 3k + 4}{2} = \frac{(k^2 + 2k + 1) + (k + 1) + 2}{2} = \frac{(k + 1)^2 + (k + 1) + 2}{2} $$ Индукционный переход доказан. **Вывод:** По принципу математической индукции формула $S_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}$ верна для любого натурального $n$. Что и требовалось доказать.