ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.23

Рассмотрим общий член заданной суммы: $$ a_k = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} $$ Представим эту дробь в виде разности простейших дробей: $$ \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} = \frac{(2k+1) - (2k-1)}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{2}{(2k-1)(2k+1)} $$ Отсюда следует равенство: $$ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) $$ Применим полученное разложение к каждому слагаемому суммы $S_n$: $$ S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $$ $$ S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \ldots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) $$ Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $$ S_n = \frac{1}{2} \left( \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right) $$ Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $$ S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) $$ Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $$ S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1 - 1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1} $$ Ответ: $\frac{n}{2n+1}$.