ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.22

### 1) $n^3 + 5n : 6$ Преобразуем выражение, представив $5n$ как $-n + 6n$: $$ n^3 + 5n = n^3 - n + 6n = n(n^2 - 1) + 6n = (n - 1)n(n + 1) + 6n $$ 1. Произведение $(n - 1)n(n + 1)$ представляет собой произведение трёх последовательных целых чисел: - среди трёх последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно чётное число (делится на 2); - среди трёх последовательных чисел ровно одно делится на 3. Так как числа 2 и 3 взаимно просты ($\text{НОД}(2, 3) = 1$), произведение $(n - 1)n(n + 1)$ делится на $2 \cdot 3 = 6$. 2. Второе слагаемое $6n$ содержит множитель 6, поэтому делится на 6 при любом натуральном $n$. Сумма двух слагаемых, каждое из которых кратно 6, также делится на 6. Утверждение доказано. --- ### 2) $7^n + 3n - 1 : 9$ Докажем методом математической индукции. 1. **База индукции:** проверим утверждение при $n = 1$: $$ 7^1 + 3 \cdot 1 - 1 = 7 + 3 - 1 = 9 $$ Число 9 делится на 9, значит, при $n = 1$ утверждение верно. 2. **Индукционный переход:** пусть утверждение верно при $n = k$, то есть $(7^k + 3k - 1) : 9$. Докажем, что оно верно и при $n = k + 1$, то есть $(7^{k+1} + 3(k+1) - 1) : 9$. Преобразуем выражение: $$ 7^{k+1} + 3(k+1) - 1 = 7 \cdot 7^k + 3k + 3 - 1 = 7 \cdot 7^k + 3k + 2 $$ Выделим слагаемое $7(7^k + 3k - 1)$: $$ 7(7^k + 3k - 1) - 21k + 7 + 3k + 2 = 7(7^k + 3k - 1) - 18k + 9 $$ Оценим слагаемые полученной суммы: - $7(7^k + 3k - 1)$ делится на 9 по предположению индукции; - $-18k = 9 \cdot (-2k)$ делится на 9; - 9 делится на 9. Так как каждое слагаемое делится на 9, то и вся сумма делится на 9 при $n = k + 1$. По методу математической индукции утверждение доказано для любого натурального $n$. --- ### 3) $8^n + 6 : 7$ Представим число 6 как $-1 + 7$: $$ 8^n + 6 = (8^n - 1) + 7 $$ Воспользуемся формулой разности $n$-х степеней $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$: $$ 8^n - 1 = 8^n - 1^n = (8 - 1)(8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots + 1) = 7(8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots + 1) $$ Так как выражение в скобках при любом натуральном $n$ является целым числом, слагаемое $(8^n - 1)$ делится на 7. Второе слагаемое равно 7 и также делится на 7. Следовательно, сумма $(8^n - 1) + 7 = 8^n + 6$ делится на 7 для любого натурального $n$. Утверждение доказано. --- ### 4) $10^n + 18n - 28 : 27$ Докажем методом математической индукции. 1. **База индукции:** проверим при $n = 1$: $$ 10^1 + 18 \cdot 1 - 28 = 10 + 18 - 28 = 0 $$ Число 0 делится на 27, утверждение верно. 2. **Индукционный переход:** пусть при $n = k$ выражение делится на 27, то есть $(10^k + 18k - 28) : 27$. Докажем, что утверждение верно для $n = k + 1$: $$ 10^{k+1} + 18(k+1) - 28 = 10 \cdot 10^k + 18k + 18 - 28 = 10 \cdot 10^k + 18k - 10 $$ Выделим слагаемое $10(10^k + 18k - 28)$: $$ 10(10^k + 18k - 28) - 180k + 280 + 18k - 10 = 10(10^k + 18k - 28) - 162k + 270 $$ Каждое слагаемое полученного выражения делится на 27: - $10(10^k + 18k - 28)$ делится на 27 по предположению индукции; - $-162k = 27 \cdot (-6k)$ делится на 27; - $270 = 27 \cdot 10$ делится на 27. Значит, выражение делится на 27 при $n = k + 1$. По методу математической индукции утверждение верно для любого натурального $n$. --- ### 5) $9^n - 8n - 9 : 8$, $n > 1$ Сгруппируем слагаемые: $$ 9^n - 8n - 9 = (9^n - 9) - 8n = 9(9^{n-1} - 1) - 8n $$ Так как $n > 1$, показатель $n - 1$ является натуральным числом ($n - 1 \ge 1$). По формуле разности степеней: $$ 9^{n-1} - 1 = (9 - 1)(9^{n-2} + 9^{n-3} + \dots + 1) = 8 \cdot M $$ где $M = 9^{n-2} + 9^{n-3} + \dots + 1$ — натуральное число. Подставим это в исходное выражение: $$ 9 \cdot 8M - 8n = 8(9M - n) $$ Поскольку в произведении присутствует множитель 8, а число $(9M - n)$ целое, данное выражение делится на 8 для любого натурального $n > 1$. Утверждение доказано. --- ### 6) $n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n : 24$ Разложим многочлен на множители способом группировки: $$ n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n = n(n^3 + 6n^2 + 11n + 6) $$ Разложим выражение в скобках, сгруппировав слагаемые: $$ n^3 + 6n^2 + 11n + 6 = (n^3 + n^2) + (5n^2 + 5n) + (6n + 6) = n^2(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1) $$ $$ = (n + 1)(n^2 + 5n + 6) = (n + 1)(n + 2)(n + 3) $$ Таким образом: $$ n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) $$ Полученное выражение представляет собой произведение четырёх последовательных натуральных чисел. Среди любых четырёх последовательных натуральных чисел: - ровно два числа являются чётными, причём одно из них делится на 2, а второе делится на 4 (произведение чётных чисел делится на $2 \cdot 4 = 8$); - хотя бы одно из чисел делится на 3. Так как числа 8 и 3 взаимно просты ($\text{НОД}(8, 3) = 1$), то всё произведение делится на $8 \cdot 3 = 24$. Утверждение доказано.