ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.21

1) Докажем тождество: $$ 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$ * **База индукции.** Проверим справедливость равенства при $n = 1$: Левая часть: $1$. Правая часть: $$ \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ $1 = 1$ — равенство верно. * **Индукционное предположение.** Предположим, что тождество выполняется для $n = k$: $$ 1 + 2 + 3 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2} $$ * **Индукционный переход.** Докажем, что тождество справедливо и для $n = k + 1$, то есть: $$ 1 + 2 + 3 + \ldots + k + (k + 1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} $$ Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение: $$ (1 + 2 + 3 + \ldots + k) + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) $$ Вынесем общий множитель $(k + 1)$ за скобки: $$ (k + 1)\left(\frac{k}{2} + 1\right) = (k + 1) \cdot \frac{k + 2}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2} $$ Полученное выражение совпадает с правой частью формулы при $n = k + 1$. Тождество доказано для любого натурального $n$. --- 2) Докажем тождество: $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$ * **База индукции.** При $n = 1$: Левая часть: $1^2 = 1$. Правая часть: $$ \frac{1 \cdot (1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 $$ $1 = 1$ — равенство верно. * **Индукционное предположение.** Пусть тождество верно при $n = k$: $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $$ * **Индукционный переход.** Докажем равенство при $n = k + 1$: $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} $$ Преобразуем левую часть: $$ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = (k+1) \left( \frac{k(2k+1)}{6} + (k+1) \right) $$ Приведём к общему знаменателю в скобках: $$ (k+1) \cdot \frac{2k^2 + k + 6k + 6}{6} = (k+1) \cdot \frac{2k^2 + 7k + 6}{6} $$ Разложим трёхчлен $2k^2 + 7k + 6$ на множители: $2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)$. Получаем: $$ \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} $$ Тождество верно для любого натурального $n$. --- 3) Докажем тождество: $$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} $$ * **База индукции.** При $n = 1$: Левая часть: $1^3 = 1$. Правая часть: $$ \frac{1^2 \cdot (1 + 1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4} = 1 $$ $1 = 1$ — равенство верно. * **Индукционное предположение.** Пусть тождество верно при $n = k$: $$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} $$ * **Индукционный переход.** Докажем равенство при $n = k + 1$: $$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} $$ Преобразуем левую часть: $$ \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + k + 1 \right) = (k+1)^2 \cdot \frac{k^2 + 4k + 4}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} $$ Тождество верно для любого натурального $n$. --- 4) Докажем тождество: $$ 1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2 - 1) $$ * **База индукции.** При $n = 1$: Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$. Правая часть: $$ 1^2 \cdot (2 \cdot 1^2 - 1) = 1 \cdot 1 = 1 $$ $1 = 1$ — равенство верно. * **Индукционное предположение.** Пусть формула верна при $n = k$: $$ 1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k-1)^3 = k^2(2k^2 - 1) $$ * **Индукционный переход.** Докажем равенство при $n = k + 1$: $$ 1^3 + 3^3 + \ldots + (2k-1)^3 + (2k+1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2 - 1) = (k+1)^2(2k^2 + 4k + 1) $$ Раскроем скобки в правой части: $$ (k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 1) = 2k^4 + 4k^3 + k^2 + 4k^3 + 8k^2 + 2k + 2k^2 + 4k + 1 = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1 $$ Преобразуем левую часть равенства для $n = k + 1$: $$ k^2(2k^2 - 1) + (2k+1)^3 = 2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1 $$ Обе части равны, следовательно, тождество верно для любого натурального $n$. --- 5) Докажем формулу для суммы квадратов первых $n$ нечётных чисел: $$ 1^2 + 3^2 + 5^2 + \ldots + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} $$ * **База индукции.** При $n = 1$: Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$. Правая часть: $$ \frac{1 \cdot (2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1 $$ $1 = 1$ — равенство верно. * **Индукционное предположение.** Пусть равенство верно при $n = k$: $$ 1^2 + 3^2 + 5^2 + \ldots + (2k-1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} $$ * **Индукционный переход.** Докажем равенство при $n = k + 1$: $$ 1^2 + 3^2 + \ldots + (2k-1)^2 + (2k+1)^2 = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} $$ Преобразуем левую часть: $$ \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2 = (2k+1)\left(\frac{2k^2 - k}{3} + (2k+1)\right) $$ Приведём выражение в скобках к общему знаменателю: $$ (2k+1) \cdot \frac{2k^2 - k + 6k + 3}{3} = (2k+1) \cdot \frac{2k^2 + 5k + 3}{3} $$ Разложим квадратный трёхчлен на множители: $2k^2 + 5k + 3 = (k+1)(2k+3)$. Подставим результат: $$ \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} $$ Тождество доказано для любого натурального $n$. --- 6) Докажем тождество: $$ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} $$ * **База индукции.** При $n = 1$: Левая часть: $1 \cdot 2 = 2$. Правая часть: $$ \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2 $$ $2 = 2$ — равенство верно. * **Индукционное предположение.** Пусть тождество верно при $n = k$: $$ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} $$ * **Индукционный переход.** Докажем равенство при $n = k + 1$: $$ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} $$ Преобразуем левую часть: $$ \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3} + 1\right) = (k+1)(k+2) \cdot \frac{k+3}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} $$ Тождество верно для любого натурального $n$. --- 7) Докажем тождество: $$ 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + n(3n+1) = n(n+1)^2 $$ * **База индукции.** При $n = 1$: Левая часть: $1 \cdot (3 \cdot 1 + 1) = 4$. Правая часть: $$ 1 \cdot (1 + 1)^2 = 1 \cdot 4 = 4 $$ $4 = 4$ — равенство верно. * **Индукционное предположение.** Пусть тождество верно при $n = k$: $$ 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \ldots + k(3k+1) = k(k+1)^2 $$ * **Индукционный переход.** Докажем формулу при $n = k + 1$, где $(k+1)$-й член равен $(k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)(3k+4)$: $$ 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \ldots + k(3k+1) + (k+1)(3k+4) = (k+1)(k+2)^2 $$ Преобразуем левую часть: $$ k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4) = (k+1)\left(k(k+1) + 3k + 4\right) = (k+1)(k^2 + 4k + 4) = (k+1)(k+2)^2 $$ Тождество верно для любого натурального $n$. --- 8) Докажем тождество: $$ 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} $$ * **База индукции.** При $n = 1$: Левая часть: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Правая часть: $$ \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4} = 6 $$ $6 = 6$ — равенство верно. * **Индукционное предположение.** Пусть равенство верно при $n = k$: $$ 1 \cdot 2 \cdot 3 + \ldots + k(k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} $$ * **Индукционный переход.** Докажем равенство при $n = k + 1$: $$ 1 \cdot 2 \cdot 3 + \ldots + k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)(k+3) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} $$ Преобразуем левую часть: $$ \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) = (k+1)(k+2)(k+3)\left(\frac{k}{4} + 1\right) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} $$ Тождество верно для любого натурального $n$. --- 9) Докажем тождество: $$ \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \ldots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1} $$ * **База индукции.** При $n = 1$: Левая часть: $$ \frac{1}{(3 \cdot 1 - 2)(3 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4} $$ Правая часть: $$ \frac{1}{3 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{4} $$ $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ — равенство верно. * **Индукционное предположение.** Пусть формула верна при $n = k$: $$ \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{k}{3k+1} $$ * **Индукционный переход.** Докажем равенство при $n = k + 1$: $$ \frac{1}{1 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k+1}{3k+4} $$ Преобразуем левую часть: $$ \frac{k}{3k+1} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k(3k+4) + 1}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{3k^2 + 4k + 1}{(3k+1)(3k+4)} $$ Разложим числитель на множители: $3k^2 + 4k + 1 = (3k+1)(k+1)$. Сократим дробь: $$ \frac{(3k+1)(k+1)}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k+1}{3k+4} $$ Тождество верно для любого натурального $n$. --- 10) Докажем тождество: $$ \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \ldots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{n}{4n+1} $$ * **База индукции.** При $n = 1$: Левая часть: $$ \frac{1}{(4 \cdot 1 - 3)(4 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 5} = \frac{1}{5} $$ Правая часть: $$ \frac{1}{4 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{5} $$ $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$ — равенство верно. * **Индукционное предположение.** Пусть равенство верно при $n = k$: $$ \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \ldots + \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{k}{4k+1} $$ * **Индукционный переход.** Докажем равенство при $n = k + 1$: $$ \frac{1}{1 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} + \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k+1}{4k+5} $$ Преобразуем левую часть: $$ \frac{k}{4k+1} + \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k(4k+5) + 1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{4k^2 + 5k + 1}{(4k+1)(4k+5)} $$ Разложим числитель на множители: $4k^2 + 5k + 1 = (4k+1)(k+1)$. Сократим дробь: $$ \frac{(4k+1)(k+1)}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k+1}{4k+5} $$ Тождество доказано методом математической индукции для всех натуральных чисел $n$.