ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.146

Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии $\{a_n\}$. По определению арифметической прогрессии для любого номера $k$ выполняется равенство: $$ a_{k+1} - a_k = d $$ Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $$ a_n = a_1 + (n-1)d \implies a_n - a_1 = (n-1)d $$ ### 1) Докажем тождество: $$ \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \ldots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n} $$ **Случай 1:** $d \ne 0$. Преобразуем каждое слагаемое в левой части равенства. Заметим, что числитель $1$ можно представить через разность соседних членов, умножив и разделив дробь на $d$: $$ \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{d}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_{k+1} - a_k}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{a_{k+1}}{a_k a_{k+1}} - \frac{a_k}{a_k a_{k+1}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) $$ Применим эту формулу ко всем слагаемым суммы: $$ \frac{1}{a_1a_2} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right) $$ $$ \frac{1}{a_2a_3} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3} \right) $$ $$ \ldots $$ $$ \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{n-1}} - \frac{1}{a_n} \right) $$ Сложим эти равенства почленно. Вынесем множитель $\frac{1}{d}$ за скобки: $$ \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \ldots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{1}{d} \left( \left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2}\right) + \left(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{a_{n-1}} - \frac{1}{a_n}\right) \right) $$ Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $$ \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_n} \right) = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_n - a_1}{a_1a_n} $$ Так как $a_n - a_1 = (n-1)d$, подставим это выражение: $$ \frac{1}{d} \cdot \frac{(n-1)d}{a_1a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n} $$ **Случай 2:** $d = 0$. Если $d = 0$, то все члены прогрессии равны: $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$. Тогда в левой части сумма состоит из $(n-1)$ одинаковых слагаемых: $$ \frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_1^2} + \ldots + \frac{1}{a_1^2} = \frac{n-1}{a_1^2} $$ Правая часть при этом равна: $$ \frac{n-1}{a_1a_n} = \frac{n-1}{a_1^2} $$ Левая и правая части совпадают. Тождество доказано. --- ### 2) Докажем тождество: $$ \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}} = \frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n}} $$ (где $a_k > 0$ для всех $k$). **Случай 1:** $d \ne 0$. Избавимся от иррациональности в знаменателе каждого слагаемого, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение $(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$: $$ \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k})(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k} $$ Поскольку $a_{k+1} - a_k = d$, получаем: $$ \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d} $$ Запишем сумму всех слагаемых левой части равенства: $$ \frac{\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}}{d} + \frac{\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}}{d} + \ldots + \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}}}{d} $$ Сложим дроби с одинаковым знаменателем $d$: $$ \frac{(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + \ldots + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}})}{d} $$ Все промежуточные корни взаимно уничтожаются: $$ \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d} $$ Умножим числитель и знаменатель полученной дроби на выражение $(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})$: $$ \frac{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})}{d(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})} = \frac{a_n - a_1}{d(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n})} $$ Используя формулу $a_n - a_1 = (n-1)d$, подставим её в числитель: $$ \frac{(n-1)d}{d(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n})} = \frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n}} $$ **Случай 2:** $d = 0$. Если $d = 0$, то $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$. Тогда левая часть равна: $$ (n-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_1}} = \frac{n-1}{2\sqrt{a_1}} $$ Правая часть равна: $$ \frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_1}} = \frac{n-1}{2\sqrt{a_1}} $$ Левая и правая части равны. Тождество доказано.