ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.144

1) Решим уравнение: $$ 1 + x + x^2 + \ldots + x^9 = 0 $$ В левой части записано 10 слагаемых. Сгруппируем их попарно: $$ (1 + x) + x^2(1 + x) + x^4(1 + x) + x^6(1 + x) + x^8(1 + x) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(1 + x)$ за скобки: $$ (1 + x)(1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$ 1 + x = 0 \quad \text{или} \quad 1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 = 0 $$ 1. Из первого уравнения: $$ x = -1 $$ 2. Для второго уравнения: при любых действительных значениях $x$ степени с чётными показателями неотрицательны ($x^2 \ge 0$, $x^4 \ge 0$, $x^6 \ge 0$, $x^8 \ge 0$). Следовательно: $$ 1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 \ge 1 > 0 $$ Это выражение не может быть равным нулю, поэтому второе уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, единственным корнем является $x = -1$. **Ответ:** $-1$ --- 2) Решим уравнение: $$ 1 + x + x^2 + \ldots + x^{10} = 0 $$ Проверим значение $x = 1$: $$ 1 + 1 + 1^2 + \ldots + 1^{10} = 11 \ne 0 $$ Значит, $x = 1$ не является корнем данного уравнения. Умножим обе части уравнения на $(x - 1) \ne 0$: $$ (x - 1)(1 + x + x^2 + \ldots + x^{10}) = 0 $$ Используя формулу разности степеней $(x - 1)(x^{10} + x^9 + \ldots + 1) = x^{11} - 1$, получаем: $$ x^{11} - 1 = 0 $$ $$ x^{11} = 1 $$ $$ x = 1 $$ Однако при $x = 1$ левая часть исходного уравнения равна $11 \ne 0$ (значение $x = 1$ является посторонним, так как возникло в результате умножения на $x - 1 = 0$). Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней. **Ответ:** нет корней