ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.143

По условию $\{a_n\}$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = a$ и знаменателем $q$, где $|q| < 1$. Общий член прогрессии задается формулой $a_n = a q^{n-1}$. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $Q$ (при $|Q| < 1$) вычисляется по формуле: $$ S = \frac{b_1}{1 - Q} $$ 1) $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \ldots$ Запишем члены ряда: $a_1^2 = a^2$, $a_2^2 = (aq)^2 = a^2 q^2$, $a_3^2 = (aq^2)^2 = a^2 q^4$. Данный ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, где: первый член $b_1 = a^2$, знаменатель $Q = \frac{a_2^2}{a_1^2} = q^2$. Так как $|q| < 1$, то $|Q| = q^2 < 1$. Найдем сумму: $$ S = \frac{a^2}{1 - q^2} $$ 2) $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 + \ldots$ Запишем члены ряда: $a_1^3 = a^3$, $a_2^3 = (aq)^3 = a^3 q^3$, $a_3^3 = (aq^2)^3 = a^3 q^6$. Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = a^3$ и знаменателем $Q = q^3$ (где $|Q| = |q|^3 < 1$). Найдем сумму: $$ S = \frac{a^3}{1 - q^3} $$ 3) $(a_1 + a_2)^2 + (a_3 + a_4)^2 + (a_5 + a_6)^2 + \ldots$ Преобразуем слагаемые: $a_1 + a_2 = a + aq = a(1 + q)$, $a_3 + a_4 = aq^2 + aq^3 = aq^2(1 + q) = q^2(a_1 + a_2)$, $a_5 + a_6 = aq^4 + aq^5 = aq^4(1 + q) = q^4(a_1 + a_2)$. Возведем слагаемые в квадрат: $b_1 = (a_1 + a_2)^2 = a^2(1 + q)^2$, $b_2 = (a_3 + a_4)^2 = a^2 q^4 (1 + q)^2 = b_1 \cdot q^4$, $b_3 = (a_5 + a_6)^2 = a^2 q^8 (1 + q)^2 = b_2 \cdot q^4$. Получили геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = a^2(1 + q)^2$ и знаменателем $Q = q^4$ ($|q^4| < 1$). Найдем сумму: $$ S = \frac{a^2(1 + q)^2}{1 - q^4} = \frac{a^2(1 + q)^2}{(1 - q^2)(1 + q^2)} = \frac{a^2(1 + q)^2}{(1 - q)(1 + q)(1 + q^2)} = \frac{a^2(1 + q)}{(1 - q)(1 + q^2)} $$ 4) $(a_1 - a_2)^2 + (a_3 - a_4)^2 + (a_5 - a_6)^2 + \ldots$ Преобразуем слагаемые: $a_1 - a_2 = a - aq = a(1 - q)$, $a_3 - a_4 = aq^2 - aq^3 = aq^2(1 - q) = q^2(a_1 - a_2)$. Возведем в квадрат: $b_1 = (a_1 - a_2)^2 = a^2(1 - q)^2$, знаменатель прогрессии $Q = \frac{(a_3 - a_4)^2}{(a_1 - a_2)^2} = q^4$ ($|q^4| < 1$). Найдем сумму: $$ S = \frac{a^2(1 - q)^2}{1 - q^4} = \frac{a^2(1 - q)^2}{(1 - q)(1 + q)(1 + q^2)} = \frac{a^2(1 - q)}{(1 + q)(1 + q^2)} $$ 5) $a_1 + \frac{1}{2}a_2 + \frac{1}{4}a_3 + \ldots$ Запишем члены ряда: первый член $b_1 = a_1 = a$, второй член $b_2 = \frac{1}{2}a_2 = \frac{1}{2}aq$, третий член $b_3 = \frac{1}{4}a_3 = \frac{1}{4}aq^2$. Знаменатель прогрессии: $$ Q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{2}aq}{a} = \frac{q}{2} $$ Так как $|q| < 1$, то $|Q| = \frac{|q|}{2} < \frac{1}{2} < 1$. Найдем сумму: $$ S = \frac{a}{1 - \frac{q}{2}} = \frac{a}{\frac{2 - q}{2}} = \frac{2a}{2 - q} $$ 6) $\left(a_1 - \frac{1}{2}\right) + \left(a_2 - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(a_n - \frac{1}{2^n}\right) + \ldots$ Разобьем сумму на разность двух бесконечно убывающих геометрических прогрессий: $$ S = (a_1 + a_2 + a_3 + \ldots) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots\right) $$ Сумма первой прогрессии: $$ S_1 = \frac{a}{1 - q} $$ Для второй прогрессии первый член $c_1 = \frac{1}{2}$, а знаменатель $q_c = \frac{1}{2}$: $$ S_2 = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 $$ Тогда общая сумма равна: $$ S = S_1 - S_2 = \frac{a}{1 - q} - 1 = \frac{a - (1 - q)}{1 - q} = \frac{a + q - 1}{1 - q} $$ 7) $\frac{a_2}{a_1} + \frac{a_4}{a_2} + \frac{a_6}{a_3} + \ldots$ Найдем слагаемые, выразив члены прогрессии через $a$ и $q$: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{aq}{a} = q$, $\frac{a_4}{a_2} = \frac{aq^3}{aq} = q^2$, $\frac{a_6}{a_3} = \frac{aq^5}{aq^2} = q^3$, $\ldots$, $n$-е слагаемое: $\frac{a_{2n}}{a_n} = \frac{aq^{2n-1}}{aq^{n-1}} = q^n$. Получен ряд $q + q^2 + q^3 + \ldots$, который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = q$ и знаменателем $Q = q$ ($|q| < 1$). Найдем сумму: $$ S = \frac{q}{1 - q} $$ 8) $(a_1 + a_2 + a_3)^2 + (a_4 + a_5 + a_6)^2 + \ldots$ Преобразуем первое слагаемое: $$ a_1 + a_2 + a_3 = a + aq + aq^2 = a(1 + q + q^2) $$ $$ b_1 = (a_1 + a_2 + a_3)^2 = a^2(1 + q + q^2)^2 $$ Преобразуем второе слагаемое: $$ a_4 + a_5 + a_6 = aq^3 + aq^4 + aq^5 = q^3(a + aq + aq^2) $$ $$ b_2 = (a_4 + a_5 + a_6)^2 = q^6 \cdot a^2(1 + q + q^2)^2 = b_1 \cdot q^6 $$ Ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем $Q = q^6$ ($|q^6| < 1$). Найдем сумму: $$ S = \frac{a^2(1 + q + q^2)^2}{1 - q^6} $$ Разложим знаменатель по формулам разности квадратов и разности кубов: $1 - q^6 = (1 - q^3)(1 + q^3) = (1 - q)(1 + q + q^2)(1 + q^3)$. Сократим дробь: $$ S = \frac{a^2(1 + q + q^2)^2}{(1 - q)(1 + q + q^2)(1 + q^3)} = \frac{a^2(1 + q + q^2)}{(1 - q)(1 + q^3)} $$