ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.145

**1)** Найдем сумму: $$ S = \left(c + \frac{1}{c}\right)^2 + \left(c^2 + \frac{1}{c^2}\right)^2 + \dots + \left(c^n + \frac{1}{c^n}\right)^2 $$ Раскроем квадрат двучлена для каждого слагаемого по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ \left(c^k + \frac{1}{c^k}\right)^2 = c^{2k} + 2 \cdot c^k \cdot \frac{1}{c^k} + \frac{1}{c^{2k}} = c^{2k} + 2 + \frac{1}{c^{2k}} $$ Тогда вся сумма принимает вид: $$ S = \left(c^2 + 2 + \frac{1}{c^2}\right) + \left(c^4 + 2 + \frac{1}{c^4}\right) + \dots + \left(c^{2n} + 2 + \frac{1}{c^{2n}}\right) $$ Сгруппируем слагаемые: $$ S = \left(c^2 + c^4 + \dots + c^{2n}\right) + \underbrace{(2 + 2 + \dots + 2)}_{n \text{ раз}} + \left(\frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^4} + \dots + \frac{1}{c^{2n}}\right) $$ Рассмотрим два случая: 1. Если $c = \pm 1$, то $c^{2k} = 1$ для всех $k$, и каждое слагаемое равно $(1 + 1)^2 = 4$: $$ S = 4n $$ 2. Если $c \neq \pm 1$ ($c \neq 0$ по условию), то суммы в первой и третьей скобках представляют собой суммы членов геометрических прогрессий: - Для первой суммы: первый член $b_1 = c^2$, знаменатель $q = c^2$: $$ S_1 = \frac{c^2( (c^2)^n - 1)}{c^2 - 1} = \frac{c^2(c^{2n} - 1)}{c^2 - 1} $$ - Сумма двоек: $$ S_2 = 2n $$ - Для третьей суммы: первый член $b_1' = \frac{1}{c^2}$, знаменатель $q' = \frac{1}{c^2}$: $$ S_3 = \frac{\frac{1}{c^2}\left(1 - \frac{1}{c^{2n}}\right)}{1 - \frac{1}{c^2}} = \frac{\frac{1}{c^2} \cdot \frac{c^{2n} - 1}{c^{2n}}}{\frac{c^2 - 1}{c^2}} = \frac{c^{2n} - 1}{c^{2n}(c^2 - 1)} $$ Сложим полученные части: $$ S_1 + S_3 = \frac{c^{2n} - 1}{c^2 - 1} \left(c^2 + \frac{1}{c^{2n}}\right) = \frac{(c^{2n} - 1)(c^{2n+2} + 1)}{c^{2n}(c^2 - 1)} $$ Следовательно, общая сумма равна: $$ S = \frac{(c^{2n} - 1)(c^{2n+2} + 1)}{c^{2n}(c^2 - 1)} + 2n $$ --- **2)** Найдем сумму: $$ S = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n! $$ Преобразуем общий член суммы, представив множитель $k$ в виде $(k + 1 - 1)$: $$ k \cdot k! = (k + 1 - 1)k! = (k + 1)k! - k! = (k + 1)! - k! $$ Запишем каждое слагаемое суммы через полученную разность: $$ 1 \cdot 1! = 2! - 1! $$ $$ 2 \cdot 2! = 3! - 2! $$ $$ 3 \cdot 3! = 4! - 3! $$ $$ \dots $$ $$ n \cdot n! = (n + 1)! - n! $$ Сложим все равенства: $$ S = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \dots + ((n + 1)! - n!) $$ Все промежуточные факториалы взаимно уничтожаются: $$ S = (n + 1)! - 1! = (n + 1)! - 1 $$ --- **3)** Найдем сумму: $$ S = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!} $$ Преобразуем общий член суммы: $$ \frac{k}{(k+1)!} = \frac{(k + 1) - 1}{(k+1)!} = \frac{k + 1}{(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} $$ Распишем слагаемые суммы через полученные разности: $$ \frac{1}{2!} = \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} $$ $$ \frac{2}{3!} = \frac{1}{2!} - \frac{3}{3!} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{3!} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} $$ $$ \frac{3}{4!} = \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} $$ $$ \dots $$ $$ \frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} $$ Сложим полученные равенства: $$ S = \left(\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!}\right) + \left(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}\right) + \left(\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right) $$ Все промежуточные дроби взаимно уничтожаются: $$ S = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} $$ --- **Ответ:** 1) При $c = \pm 1$: $4n$; при $c \neq \pm 1$: $\frac{(c^{2n} - 1)(c^{2n+2} + 1)}{c^{2n}(c^2 - 1)} + 2n$; 2) $(n + 1)! - 1$; 3) $1 - \frac{1}{(n+1)!}$.