ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.147

1) Рассмотрим слагаемые заданной суммы: $$ S_n = \frac{1}{4 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 18} + \ldots + \frac{1}{(7n-3)(7n+4)} $$ Заметим, что разность множителей в знаменателе каждого слагаемого постоянна: $$ (7n + 4) - (7n - 3) = 7 $$ Представим общий член суммы в виде разности двух дробей: $$ \frac{1}{(7k - 3)(7k + 4)} = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7k + 4) - (7k - 3)}{(7k - 3)(7k + 4)} = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{7k - 3} - \frac{1}{7k + 4} \right) $$ Запишем каждое слагаемое суммы через полученное равенство: при $k = 1$: $\frac{1}{4 \cdot 11} = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{11} \right)$; при $k = 2$: $\frac{1}{11 \cdot 18} = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{18} \right)$; $\ldots$ при $k = n$: $\frac{1}{(7n - 3)(7n + 4)} = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{7n - 3} - \frac{1}{7n + 4} \right)$. Сложим все равенства и вынесем общий множитель $\frac{1}{7}$ за скобки: $$ S_n = \frac{1}{7} \left( \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{18} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{7n - 3} - \frac{1}{7n + 4} \right) \right) $$ Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, остаются только первое и последнее: $$ S_n = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7n + 4} \right) $$ Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $$ S_n = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7n + 4) - 4}{4(7n + 4)} = \frac{1}{7} \cdot \frac{7n}{4(7n + 4)} = \frac{n}{4(7n + 4)} $$ 2) Рассмотрим слагаемые заданной суммы: $$ S_n = \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(4n-1)(4n+3)} $$ Разность множителей в знаменателе каждого слагаемого равна: $$ (4n + 3) - (4n - 1) = 4 $$ Представим общий член суммы в виде разности двух дробей: $$ \frac{1}{(4k - 1)(4k + 3)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(4k + 3) - (4k - 1)}{(4k - 1)(4k + 3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k - 1} - \frac{1}{4k + 3} \right) $$ Запишем каждое слагаемое суммы через полученное равенство: при $k = 1$: $\frac{1}{3 \cdot 7} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right)$; при $k = 2$: $\frac{1}{7 \cdot 11} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right)$; $\ldots$ при $k = n$: $\frac{1}{(4n - 1)(4n + 3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n - 1} - \frac{1}{4n + 3} \right)$. Сложим равенства и вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки: $$ S_n = \frac{1}{4} \left( \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{4n - 1} - \frac{1}{4n + 3} \right) \right) $$ Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $$ S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n + 3} \right) $$ Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $$ S_n = \frac{1}{4} \cdot \frac{(4n + 3) - 3}{3(4n + 3)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4n}{3(4n + 3)} = \frac{n}{3(4n + 3)} $$ **Ответ:** 1) $\frac{n}{4(7n+4)}$ 2) $\frac{n}{3(4n+3)}$