ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.148

**1)** Дана функция: $$ y = x + \frac{x}{1 + x^2} + \frac{x}{\left(1 + x^2\right)^2} + \dots $$ Правая часть представляет собой сумму бесконечного ряда, члены которого образуют геометрическую прогрессию: первый член $b_1 = x$, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{1 + x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то знаменатель $1 + x^2 \ge 1$. Рассмотрим два случая: 1. Если $x = 0$: $$ y = 0 + 0 + 0 + \dots = 0 $$ Значит, графику принадлежит точка $(0; 0)$. 2. Если $x \ne 0$: Тогда $x^2 > 0$, откуда $1 + x^2 > 1$, а значит: $$ 0 < q = \frac{1}{1 + x^2} < 1 $$ Условие сходимости бесконечно убывающей геометрической прогрессии $|q| < 1$ выполняется. Найдём её сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $$ y = \frac{x}{1 - \frac{1}{1 + x^2}} = \frac{x}{\frac{1 + x^2 - 1}{1 + x^2}} = \frac{x}{\frac{x^2}{1 + x^2}} = \frac{x(1 + x^2)}{x^2} = \frac{1 + x^2}{x} = x + \frac{1}{x} $$ Таким образом, функция задаётся выражением: $$ y = \begin{cases} x + \dfrac{1}{x}, & \text{если } x \ne 0, \\ 0, & \text{если } x = 0. \end{cases} $$ **Построение графика:** 1. Функция $y = x + \frac{1}{x}$ нечётная, её график симметричен относительно начала координат: - При $x > 0$ функция принимает наименьшее значение в точке $(1; 2)$. Ветвь графика приближается к вертикальной оси $x = 0$ (при $x \to 0^+$ уходит в $+\infty$) и к наклонной прямой $y = x$ (при $x \to +\infty$). Дополнительные точки: $(0{,}5; 2{,}5)$, $(2; 2{,}5)$. - При $x < 0$ функция принимает наибольшее значение в точке $(-1; -2)$. Ветвь графика приближается к оси $x = 0$ (при $x \to 0^-$ уходит в $-\infty$) и к наклонной прямой $y = x$ (при $x \to -\infty$). Дополнительные точки: $(-0{,}5; -2{,}5)$, $(-2; -2{,}5)$. 2. В точке $x = 0$ график имеет изолированную точку $(0; 0)$. --- **2)** Дана функция: $$ y = x^2 + \frac{x^2}{1 + x^2} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2\right)^2} + \dots $$ Правая часть представляет собой сумму членов геометрической прогрессии: первый член $b_1 = x^2$, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{1 + x^2}$. Рассмотрим два случая: 1. Если $x = 0$: $$ y = 0 + 0 + 0 + \dots = 0 $$ Значит, графику принадлежит точка $(0; 0)$. 2. Если $x \ne 0$: Тогда $x^2 > 0 \implies 1 + x^2 > 1$, следовательно: $$ 0 < q = \frac{1}{1 + x^2} < 1 $$ Прогрессия является бесконечно убывающей. Найдём её сумму: $$ y = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{x^2}{1 - \frac{1}{1 + x^2}} = \frac{x^2}{\frac{x^2}{1 + x^2}} = \frac{x^2(1 + x^2)}{x^2} = 1 + x^2 $$ Таким образом, функция имеет вид: $$ y = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x \ne 0, \\ 0, & \text{если } x = 0. \end{cases} $$ **Построение графика:** 1. Строим параболу $y = x^2 + 1$, ветви которой направлены вверх: - Находим несколько точек параболы: $(1; 2)$, $(-1; 2)$, $(2; 5)$, $(-2; 5)$. - В вершине параболы при $x = 0$ значение $y = 1$ не достигается, поэтому точка $(0; 1)$ на параболе **выколотая** (обозначается незакрашенным кружком). 2. Наносим изолированную точку $(0; 0)$ (закрашенная точка в начале координат).