ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.141

**1)** Выясним, могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составить арифметическую прогрессию. Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью $d > 0$. Так как гипотенуза является наибольшей стороной треугольника, обозначим стороны в порядке возрастания: меньший катет равен $a - d$; второй катет равен $a$; гипотенуза равна $a + d$. Длины сторон должны быть положительными, поэтому $a > d > 0$. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $$ (a - d)^2 + a^2 = (a + d)^2 $$ Раскроем скобки: $$ a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ a^2 - 4ad = 0 $$ $$ a(a - 4d) = 0 $$ Так как $a > 0$, разделим обе части уравнения на $a$: $$ a - 4d = 0 \implies a = 4d $$ Подставим полученное значение $a = 4d$ в выражения для сторон: первый катет: $a - d = 4d - d = 3d$; второй катет: $a = 4d$; гипотенуза: $a + d = 4d + d = 5d$. При любом $d > 0$ получаем прямоугольный треугольник со сторонами $3d, 4d, 5d$ (например, при $d = 1$ стороны равны $3, 4, 5$). Неравенство треугольника выполняется: $3d + 4d > 5d$. Следовательно, длины сторон прямоугольного треугольника могут составить арифметическую прогрессию. --- **2)** Выясним, могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составить геометрическую прогрессию. Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют возрастающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q > 1$ и первым членом $b > 0$. Так как гипотенуза — наибольшая сторона, запишем стороны в порядке возрастания: катеты: $b$ и $bq$; гипотенуза: $bq^2$. По теореме Пифагора: $$ b^2 + (bq)^2 = (bq^2)^2 $$ $$ b^2 + b^2 q^2 = b^2 q^4 $$ Так как $b > 0$, разделим обе части уравнения на $b^2$: $$ 1 + q^2 = q^4 $$ $$ q^4 - q^2 - 1 = 0 $$ Пусть $t = q^2$, причем $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - t - 1 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 $$ Корни уравнения: $$ t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $$ Так как $t > 0$, подходит только положительный корень: $$ t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$ Возвращаясь к замене $q^2 = t$, находим знаменатель: $$ q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} $$ Проверим неравенство треугольника (сумма двух катетов должна быть больше гипотенузы): $$ b + bq > bq^2 \iff 1 + q > q^2 $$ Так как $q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, а $q = \sqrt{1{,}618} \approx 1{,}272$, получаем: $$ 1 + 1{,}272 > 1{,}618 \iff 2{,}272 > 1{,}618 $$ Неравенство верно, такой треугольник существует (треугольник Кеплера). Следовательно, длины сторон прямоугольного треугольника могут составить геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$. --- **Ответ:** 1) Да, могут; 2) Да, могут.