ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.140

По условию числа $x_1$, $x_3$, $x_2$, $x_4$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Обозначим первый член прогрессии через $x_1$, а её знаменатель через $q$. Тогда: $$ x_3 = x_1 q, \quad x_2 = x_1 q^2, \quad x_4 = x_1 q^3 $$ По теореме Виета для корней уравнения $x^2 + ax + 4 = 0$: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -a \\ x_1 x_2 = 4 \end{cases} $$ По теореме Виета для корней уравнения $x^2 + bx + 16 = 0$: $$ \begin{cases} x_3 + x_4 = -b \\ x_3 x_4 = 16 \end{cases} $$ Подставим выражения членов прогрессии в уравнения для произведений корней: $$ x_1 x_2 = x_1 \cdot (x_1 q^2) = x_1^2 q^2 = 4 $$ $$ x_3 x_4 = (x_1 q) \cdot (x_1 q^3) = x_1^2 q^4 = 16 $$ Разделим второе равенство на первое: $$ \frac{x_1^2 q^4}{x_1^2 q^2} = \frac{16}{4} $$ $$ q^2 = 4 \implies q = \pm 2 $$ Так как $x_1^2 q^2 = 4$, подставим $q^2 = 4$: $$ x_1^2 \cdot 4 = 4 \implies x_1^2 = 1 \implies x_1 = \pm 1 $$ Рассмотрим все возможные комбинации значений $x_1$ и $q$: 1) Если $x_1 = 1$ и $q = 2$: $x_1 = 1$, $x_2 = 1 \cdot 2^2 = 4$, $x_3 = 1 \cdot 2 = 2$, $x_4 = 1 \cdot 2^3 = 8$. Тогда: $$ a = -(x_1 + x_2) = -(1 + 4) = -5 $$ $$ b = -(x_3 + x_4) = -(2 + 8) = -10 $$ 2) Если $x_1 = -1$ и $q = 2$: $x_1 = -1$, $x_2 = -1 \cdot 2^2 = -4$, $x_3 = -1 \cdot 2 = -2$, $x_4 = -1 \cdot 2^3 = -8$. Тогда: $$ a = -(x_1 + x_2) = -(-1 - 4) = 5 $$ $$ b = -(x_3 + x_4) = -(-2 - 8) = 10 $$ 3) Если $x_1 = 1$ и $q = -2$: $x_1 = 1$, $x_2 = 1 \cdot (-2)^2 = 4$, $x_3 = 1 \cdot (-2) = -2$, $x_4 = 1 \cdot (-2)^3 = -8$. Тогда: $$ a = -(x_1 + x_2) = -(1 + 4) = -5 $$ $$ b = -(x_3 + x_4) = -(-2 - 8) = 10 $$ 4) Если $x_1 = -1$ и $q = -2$: $x_1 = -1$, $x_2 = -1 \cdot (-2)^2 = -4$, $x_3 = -1 \cdot (-2) = 2$, $x_4 = -1 \cdot (-2)^3 = 8$. Тогда: $$ a = -(x_1 + x_2) = -(-1 - 4) = 5 $$ $$ b = -(x_3 + x_4) = -(2 + 8) = -10 $$ Для всех полученных значений коэффициентов дискриминанты обоих уравнений положительны: $D_1 = a^2 - 16 = 25 - 16 = 9 > 0$, $D_2 = b^2 - 64 = 100 - 64 = 36 > 0$, следовательно, уравнения имеют действительные корни. Ответ: $a = \pm 5$, $b = \pm 10$ (все четыре комбинации знаков).