ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.138

Обозначим сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии $\{a_n\}$ через $S_n$: $$ S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n $$ По условию задачи для любого натурального $n$ выполняется равенство: $$ \dfrac{S_n}{n} = n $$ Умножим обе части равенства на $n$: $$ S_n = n^2 $$ Выразим члены последовательности через сумму: 1. При $n = 1$: $$ a_1 = S_1 = 1^2 = 1 $$ 2. Для любого $n \ge 2$ $n$-й член последовательности равен разности сумм $S_n$ и $S_{n-1}$: $$ a_n = S_n - S_{n-1} $$ Подставим выражение суммы: $$ a_n = n^2 - (n - 1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1 $$ Формула $a_n = 2n - 1$ справедлива и при $n = 1$: $$ a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 $$ 3. Найдём разность прогрессии $d$: $$ d = a_{n+1} - a_n = (2(n + 1) - 1) - (2n - 1) = 2n + 1 - 2n + 1 = 2 $$ Разность $d = 2$ постоянна для любого $n$, следовательно, последовательность действительно является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 2$. Ответ: $a_1 = 1$, $d = 2$ (формула общего члена: $a_n = 2n - 1$).