ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.139

Пусть геометрическая прогрессия содержит четное число членов, равное $2n$, где $n \in \mathbb{N}$: $b_1, b_2, b_3, \dots, b_{2n}$, а её знаменатель равен $q$. Запишем сумму членов этой прогрессии с нечетными номерами: $$ S_{\text{нечет}} = b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2n-1} $$ Запишем сумму членов с четными номерами: $$ S_{\text{чет}} = b_2 + b_4 + b_6 + \dots + b_{2n} $$ По определению геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего члена на знаменатель $q$, то есть $b_{2k} = b_{2k-1} \cdot q$ для любого $k \in \{1, 2, \dots, n\}$: $b_2 = b_1 \cdot q$, $b_4 = b_3 \cdot q$, $b_6 = b_5 \cdot q$, $\dots$, $b_{2n} = b_{2n-1} \cdot q$. Подставим эти выражения в сумму членов с четными номерами: $$ S_{\text{чет}} = b_1 \cdot q + b_3 \cdot q + b_5 \cdot q + \dots + b_{2n-1} \cdot q $$ Вынесем общий множитель $q$ за скобки: $$ S_{\text{чет}} = q(b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2n-1}) $$ Заметим, что выражение в скобках представляет собой сумму членов с нечетными номерами $S_{\text{нечет}}$: $$ S_{\text{чет}} = q \cdot S_{\text{нечет}} $$ Найдем отношение суммы членов с четными номерами к сумме членов с нечетными номерами: $$ \frac{S_{\text{чет}}}{S_{\text{нечет}}} = \frac{q \cdot S_{\text{нечет}}}{S_{\text{нечет}}} = q $$ Отношение равно знаменателю прогрессии $q$, что и требовалось доказать.