ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.137

**3.137.** **Доказательство:** По характеристическому свойству арифметической прогрессии три числа образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда разность между вторым и первым членами равна разности между третьим и вторым членами. 1. Числа $\frac{1}{y+z}$, $\frac{1}{z+x}$, $\frac{1}{x+y}$ составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда: $$ \frac{1}{z+x} - \frac{1}{y+z} = \frac{1}{x+y} - \frac{1}{z+x} $$ 2. Преобразуем левую часть равенства, приведя дроби к общему знаменателю: $$ \frac{1}{z+x} - \frac{1}{y+z} = \frac{(y+z) - (z+x)}{(z+x)(y+z)} = \frac{y-x}{(x+z)(y+z)} $$ 3. Преобразуем правую часть равенства аналогичным образом: $$ \frac{1}{x+y} - \frac{1}{z+x} = \frac{(z+x) - (x+y)}{(x+y)(z+x)} = \frac{z-y}{(x+y)(z+x)} $$ 4. Запишем исходное равенство в новом виде: $$ \frac{y-x}{(x+z)(y+z)} = \frac{z-y}{(x+y)(z+x)} $$ Умножим обе части равенства на ненулевое выражение $(x+y)(y+z)(z+x)$: $$ (y-x)(x+y) = (z-y)(y+z) $$ 5. Применяя формулу разности квадратов к обеим частям, получаем: $$ y^2 - x^2 = z^2 - y^2 $$ или $$ 2y^2 = x^2 + z^2 $$ Равенство $y^2 - x^2 = z^2 - y^2$ означает, что разность между вторым и первым числом равна разности между третьим и вторым числом для последовательности $x^2$, $y^2$, $z^2$. Это является необходимым и достаточным условием того, что числа $x^2$, $y^2$, $z^2$ образуют арифметическую прогрессию. Так как все преобразования являются равносильными при существующих знаменателях, утверждение доказано.