ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.136

Пусть $\{a_n\}$ — арифметическая прогрессия с разностью $d \neq 0$ и положительными членами ($a_k > 0$ при всех $k$). Рассмотрим два соседних произведения в данной цепочке: $a_k a_{n-k+1}$ и $a_{k+1} a_{n-k}$, где $1 \leqslant k < \frac{n}{2}$ (то есть шаг от концов последовательности к её середине). По определению арифметической прогрессии: $$a_{k+1} = a_k + d$$ $$a_{n-k+1} = a_{n-k} + d$$ Составим разность этих произведений: $$a_{k+1} a_{n-k} - a_k a_{n-k+1} = (a_k + d) a_{n-k} - a_k (a_{n-k} + d)$$ Раскроем скобки: $$a_{k+1} a_{n-k} - a_k a_{n-k+1} = a_k a_{n-k} + d a_{n-k} - a_k a_{n-k} - d a_k$$ $$a_{k+1} a_{n-k} - a_k a_{n-k+1} = d(a_{n-k} - a_k)$$ Выразим разность $a_{n-k} - a_k$ через разность прогрессии $d$: $$a_{n-k} - a_k = (n - k - k) d = (n - 2k)d$$ Подставим полученное выражение в формулу для разности произведений: $$a_{k+1} a_{n-k} - a_k a_{n-k+1} = d \cdot (n - 2k)d = d^2 (n - 2k)$$ По условию задачи: 1) $d \neq 0$, следовательно, $d^2 > 0$; 2) Рассматриваются произведения от краев к центру, то есть при $k < n - k$, откуда $n - 2k > 0$. Так как оба сомножителя положительны ($d^2 > 0$ и $n - 2k > 0$), их произведение строго больше нуля: $$a_{k+1} a_{n-k} - a_k a_{n-k+1} = d^2 (n - 2k) > 0$$ Отсюда следует, что: $$a_k a_{n-k+1} < a_{k+1} a_{n-k}$$ Подставляя последовательно значения $k = 1, 2, 3, \ldots$, получаем: при $k = 1$: $a_1 a_n < a_2 a_{n-1}$; при $k = 2$: $a_2 a_{n-1} < a_3 a_{n-2}$; при $k = 3$: $a_3 a_{n-2} < a_4 a_{n-3}$, и так далее. Объединяя полученные неравенства, получаем требуемую цепочку: $$a_1 a_n < a_2 a_{n-1} < a_3 a_{n-2} < \ldots$$ Что и требовалось доказать.