ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.134

**1)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} a_2 + a_4 = 16, \\ a_1 \cdot a_5 = 28. \end{cases} $$ Выразим члены прогрессии через первый член $a_1$ и разность $d$, используя формулу $n$-го члена $a_n = a_1 + (n - 1)d$: $a_2 = a_1 + d$, $a_4 = a_1 + 3d$, $a_5 = a_1 + 4d$. Преобразуем первое уравнение системы: $$ (a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 16 $$ $$ 2a_1 + 4d = 16 $$ Разделим обе части уравнения на 2: $$ a_1 + 2d = 8 \implies a_1 = 8 - 2d $$ Подставим выражение для $a_1$ и формулу для $a_5$ во второе уравнение системы: $$ (8 - 2d) \cdot (a_1 + 4d) = 28 $$ $$ (8 - 2d) \cdot (8 - 2d + 4d) = 28 $$ $$ (8 - 2d)(8 + 2d) = 28 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ 8^2 - (2d)^2 = 28 $$ $$ 64 - 4d^2 = 28 $$ $$ 4d^2 = 64 - 28 $$ $$ 4d^2 = 36 $$ $$ d^2 = 9 \implies d_1 = 3, \quad d_2 = -3 $$ Найдем первый член $a_1$ и составим прогрессию для каждого значения $d$: 1. При $d = 3$: $a_1 = 8 - 2 \cdot 3 = 2$. Члены прогрессии: $a_1 = 2$, $a_2 = 2 + 3 = 5$, $a_3 = 5 + 3 = 8$, $a_4 = 8 + 3 = 11$, $a_5 = 11 + 3 = 14$. Получаем прогрессию: $2, 5, 8, 11, 14, \dots$ 2. При $d = -3$: $a_1 = 8 - 2 \cdot (-3) = 8 + 6 = 14$. Члены прогрессии: $a_1 = 14$, $a_2 = 14 - 3 = 11$, $a_3 = 11 - 3 = 8$, $a_4 = 8 - 3 = 5$, $a_5 = 5 - 3 = 2$. Получаем прогрессию: $14, 11, 8, 5, 2, \dots$ **Ответ:** $2, 5, 8, 11, \dots$ или $14, 11, 8, 5, \dots$ --- **2)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} a_2 + a_{10} = 24, \\ a_1 \cdot a_{11} = 44. \end{cases} $$ Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$: $a_2 = a_1 + d$, $a_{10} = a_1 + 9d$, $a_{11} = a_1 + 10d$. Преобразуем первое уравнение системы: $$ (a_1 + d) + (a_1 + 9d) = 24 $$ $$ 2a_1 + 10d = 24 $$ Разделим обе части уравнения на 2: $$ a_1 + 5d = 12 \implies a_1 = 12 - 5d $$ Подставим выражение для $a_1$ во второе уравнение системы: $$ a_1 \cdot (a_1 + 10d) = 44 $$ $$ (12 - 5d) \cdot (12 - 5d + 10d) = 44 $$ $$ (12 - 5d)(12 + 5d) = 44 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ 12^2 - (5d)^2 = 44 $$ $$ 144 - 25d^2 = 44 $$ $$ 25d^2 = 144 - 44 $$ $$ 25d^2 = 100 $$ $$ d^2 = 4 \implies d_1 = 2, \quad d_2 = -2 $$ Найдем первый член $a_1$ и составим прогрессию для каждого значения $d$: 1. При $d = 2$: $a_1 = 12 - 5 \cdot 2 = 2$. Члены прогрессии: $a_1 = 2$, $a_2 = 2 + 2 = 4$, $a_3 = 4 + 2 = 6$, $a_4 = 6 + 2 = 8$, $a_5 = 8 + 2 = 10$. Получаем прогрессию: $2, 4, 6, 8, 10, \dots$ 2. При $d = -2$: $a_1 = 12 - 5 \cdot (-2) = 12 + 10 = 22$. Члены прогрессии: $a_1 = 22$, $a_2 = 22 - 2 = 20$, $a_3 = 20 - 2 = 18$, $a_4 = 18 - 2 = 16$, $a_5 = 16 - 2 = 14$. Получаем прогрессию: $22, 20, 18, 16, 14, \dots$ **Ответ:** $2, 4, 6, 8, \dots$ или $22, 20, 18, 16, \dots$