ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.131

1) Последовательность, ограниченная сверху, но не ограниченная снизу: Рассмотрим последовательность: $$ a_n = -n, \quad \text{где } n \in \mathbb{N} $$ Её члены: $-1, -2, -3, -4, \dots, -n, \dots$ * **Ограниченность сверху:** так как для любого натурального $n \ge 1$ справедливо неравенство: $$ a_n = -n \le -1 $$ число $M = -1$ является верхней границей данной последовательности. * **Неограниченность снизу:** с ростом $n$ члены последовательности принимают сколь угодно малые отрицательные значения ($a_n \to -\infty$). Не существует такого числа $m$, чтобы для всех $n \in \mathbb{N}$ выполнялось $a_n \ge m$. 2) Последовательность, ограниченная снизу, но не ограниченная сверху: Рассмотрим последовательность: $$ b_n = n^2, \quad \text{где } n \in \mathbb{N} $$ Её члены: $1, 4, 9, 16, \dots, n^2, \dots$ * **Ограниченность снизу:** для любого натурального $n \ge 1$ выполняется неравенство: $$ b_n = n^2 \ge 1 $$ число $m = 1$ является нижней границей последовательности. * **Неограниченность сверху:** с ростом $n$ члены последовательности неограниченно возрастают ($b_n \to +\infty$). Не существует такого действительного числа $M$, чтобы для всех $n \in \mathbb{N}$ выполнялось $b_n \le M$. 3) Последовательность, не ограниченная ни сверху, ни снизу: Рассмотрим знакочередующуюся последовательность: $$ c_n = (-1)^n \cdot n, \quad \text{где } n \in \mathbb{N} $$ Её члены: $-1, 2, -3, 4, -5, 6, \dots$ * **Неограниченность сверху:** члены последовательности с чётными номерами положительны и имеют вид $c_{2k} = 2k$ ($k \in \mathbb{N}$). При увеличении $k$ они неограниченно возрастают, уходя в $+\infty$, поэтому последовательность не имеет верхней границы. * **Неограниченность снизу:** члены последовательности с нечётными номерами отрицательны и имеют вид $c_{2k-1} = -(2k-1)$ ($k \in \mathbb{N}$). При увеличении $k$ они уходят в $-\infty$, поэтому последовательность не имеет нижней границы.