ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.32

### 1) $$ \begin{cases} \dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{x} = 18, \\ x + y = 12 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $y \neq 0$. Преобразуем первое уравнение системы, приведя дроби к общему знаменателю: $$ \frac{x^3 + y^3}{xy} = 18 $$ $$ x^3 + y^3 = 18xy $$ Разложим сумму кубов в левой части уравнения по формуле $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$: $$ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 18xy $$ Выразим $x^2 - xy + y^2$ через $(x + y)$ и $xy$: $x^2 - xy + y^2 = (x + y)^2 - 3xy$. Подставим значение $x + y = 12$ из второго уравнения системы: $$ 12 \cdot (12^2 - 3xy) = 18xy $$ $$ 12(144 - 3xy) = 18xy $$ Разделим обе части уравнения на $6$: $$ 2(144 - 3xy) = 3xy $$ $$ 288 - 6xy = 3xy $$ $$ 9xy = 288 $$ $$ xy = 32 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 12, \\ xy = 32 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 12t + 32 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $$ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 = 4^2 $$ $$ t_1 = \frac{12 + 4}{2} = 8, \quad t_2 = \frac{12 - 4}{2} = 4 $$ Таким образом: 1) $x_1 = 4$, $y_1 = 8$; 2) $x_2 = 8$, $y_2 = 4$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$, $y \neq 0$). **Ответ:** $(4; 8)$, $(8; 4)$. --- ### 2) $$ \begin{cases} \dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{x} = 3, \\ x + y = 2 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $y \neq 0$. Приведем первое уравнение системы к общему знаменателю: $$ \frac{x^3 + y^3}{xy} = 3 $$ $$ x^3 + y^3 = 3xy $$ Используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 - 3xy)$, подставим $x + y = 2$: $$ 2 \cdot (2^2 - 3xy) = 3xy $$ $$ 2(4 - 3xy) = 3xy $$ $$ 8 - 6xy = 3xy $$ $$ 9xy = 8 $$ $$ xy = \frac{8}{9} $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 2, \\ xy = \dfrac{8}{9} \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями уравнения: $$ t^2 - 2t + \frac{8}{9} = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $9$: $$ 9t^2 - 18t + 8 = 0 $$ Найдем корни уравнения: $$ D = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8 = 324 - 288 = 36 = 6^2 $$ $$ t_1 = \frac{18 + 6}{2 \cdot 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3} $$ $$ t_2 = \frac{18 - 6}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$ Таким образом: 1) $x_1 = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}$, $y_1 = \dfrac{2}{3}$; 2) $x_2 = \dfrac{2}{3}$, $y_2 = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$, $y \neq 0$). **Ответ:** $\left(1\dfrac{1}{3}; \dfrac{2}{3}\right)$, $\left(\dfrac{2}{3}; 1\dfrac{1}{3}\right)$.