ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.31

**1)** $$ \left\{ \begin{array}{l} 2x^{2} - 3xy - 19y^{2} = 25, \\ x^{2} - 6y^{2} = 250 \end{array} \right. $$ Умножим первое уравнение системы на $10$, чтобы уравнять правые части: $$ \left\{ \begin{array}{l} 20x^{2} - 30xy - 190y^{2} = 250, \\ x^{2} - 6y^{2} = 250 \end{array} \right. $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ (20x^{2} - 30xy - 190y^{2}) - (x^{2} - 6y^{2}) = 0 $$ $$ 19x^{2} - 30xy - 184y^{2} = 0 $$ Получили однородное уравнение второй степени. Если $y = 0$, то из уравнения следует $19x^2 = 0 \implies x = 0$, но пара $(0; 0)$ не удовлетворяет исходной системе ($0 \neq 250$). Значит, $y \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $y^2$ и сделаем замену $\frac{x}{y} = t$: $$ 19t^{2} - 30t - 184 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D_{1} = (-15)^{2} - 19 \cdot (-184) = 225 + 3496 = 3721 = 61^{2} $$ $$ t = \frac{15 \pm 61}{19} $$ $$ t_{1} = \frac{15 + 61}{19} = \frac{76}{19} = 4, \quad t_{2} = \frac{15 - 61}{19} = -\frac{46}{19} $$ Рассмотрим два случая: 1. Если $\frac{x}{y} = 4$, то $x = 4y$. Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы: $$ (4y)^{2} - 6y^{2} = 250 $$ $$ 16y^{2} - 6y^{2} = 250 $$ $$ 10y^{2} = 250 $$ $$ y^{2} = 25 \implies y_{1} = 5, \quad y_{2} = -5 $$ Найдем соответствующие значения $x$: * при $y_{1} = 5$: $x_{1} = 4 \cdot 5 = 20$; * при $y_{2} = -5$: $x_{2} = 4 \cdot (-5) = -20$. 2. Если $\frac{x}{y} = -\frac{46}{19}$, то $x = -\frac{46}{19}y$. Подставим во второе уравнение: $$ \left(-\frac{46}{19}y\right)^{2} - 6y^{2} = 250 $$ $$ \frac{2116}{361}y^{2} - \frac{2166}{361}y^{2} = 250 $$ $$ -\frac{50}{361}y^{2} = 250 $$ $$ y^{2} = -1805 $$ Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Ответ: $(20; 5), (-20; -5)$. --- **2)** $$ \left\{ \begin{array}{l} 7x^{2} - 6xy + 12y^{2} = 108, \\ x^{2} - \frac{5}{6}xy + \frac{7}{8}y^{2} = 18 \end{array} \right. $$ Умножим второе уравнение системы на $6$: $$ 6 \cdot \left(x^{2} - \frac{5}{6}xy + \frac{7}{8}y^{2}\right) = 6 \cdot 18 $$ $$ 6x^{2} - 5xy + \frac{21}{4}y^{2} = 108 $$ Теперь правые части уравнений равны: $$ \left\{ \begin{array}{l} 7x^{2} - 6xy + 12y^{2} = 108, \\ 6x^{2} - 5xy + \frac{21}{4}y^{2} = 108 \end{array} \right. $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ (7x^{2} - 6xy + 12y^{2}) - \left(6x^{2} - 5xy + \frac{21}{4}y^{2}\right) = 0 $$ $$ x^{2} - xy + \frac{27}{4}y^{2} = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $4$: $$ 4x^{2} - 4xy + 27y^{2} = 0 $$ Выделим полный квадрат: $$ (4x^{2} - 4xy + y^{2}) + 26y^{2} = 0 $$ $$ (2x - y)^{2} + 26y^{2} = 0 $$ Так как $(2x - y)^{2} \ge 0$ и $26y^{2} \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$, их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: $$ \left\{ \begin{array}{l} 26y^{2} = 0, \\ 2x - y = 0 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} y = 0, \\ x = 0 \end{array} \right. $$ Проверим полученную пару $(0; 0)$ подстановкой в первое уравнение исходной системы: $$ 7 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 \cdot 0 + 12 \cdot 0^{2} = 108 \implies 0 = 108 \quad \text{— неверно.} $$ Следовательно, система не имеет действительных решений. Ответ: решений нет.