ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.34

**1.34.** **1)** Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} xy = 36, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): подкоренные выражения должны быть неотрицательными, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Так как $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$. Из первого уравнения получаем: $$ \sqrt{xy} = \sqrt{36} = 6 \implies \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 6 $$ Введем замену переменных: пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$, где $u \ge 0$, $v \ge 0$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} u + v = 5, \\ u \cdot v = 6 \end{cases} $$ По обратной теореме Виета $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 5t + 6 = 0 $$ Найдем корни уравнения через дискриминант или подбором: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$. Получаем два возможных случая: 1) $\begin{cases} u = 2, \\ v = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} \sqrt{x} = 2, \\ \sqrt{y} = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2^2 = 4, \\ y = 3^2 = 9 \end{cases}$ 2) $\begin{cases} u = 3, \\ v = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} \sqrt{x} = 3, \\ \sqrt{y} = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3^2 = 9, \\ y = 2^2 = 4 \end{cases}$ Оба решения удовлетворяют ОДЗ. **Ответ:** $(4; 9), (9; 4)$. --- **2)** Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2\sqrt{xy}, \\ x + y = 20 \end{cases} $$ ОДЗ: $x \ge 0$, $y \ge 0$. Так как левая часть первого уравнения равна $2\sqrt{xy} \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge \sqrt{y} \ge 0$. Если бы $y = 0$, то $x = 0$, что противоречит второму уравнению ($0 + 0 \neq 20$). Значит, $x > 0$ и $y > 0$. Пусть $u = \sqrt{x} > 0$ и $v = \sqrt{y} > 0$. Тогда $x = u^2$, $y = v^2$, а $\sqrt{xy} = uv$. Запишем систему через $u$ и $v$: $$ \begin{cases} u - v = 2uv, \\ u^2 + v^2 = 20 \end{cases} $$ Воспользуемся формулой квадрата разности: $$ (u - v)^2 = u^2 + v^2 - 2uv $$ Подставим в это равенство выражения из системы: $$ (2uv)^2 = 20 - 2uv $$ $$ 4(uv)^2 + 2uv - 20 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ 2(uv)^2 + uv - 10 = 0 $$ Пусть $t = uv$, где $t > 0$: $$ 2t^2 + t - 10 = 0 $$ $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $$ $$ t_1 = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2 $$ $$ t_2 = \frac{-1 - 9}{4} = -\frac{10}{4} = -2{,}5 \quad (\text{не подходит, так как } t > 0) $$ Следовательно, $uv = 2$. Теперь найдем разность и сумму $u$ и $v$: 1. $u - v = 2uv = 2 \cdot 2 = 4$. 2. Выразим квадрат суммы: $(u + v)^2 = u^2 + v^2 + 2uv = 20 + 2 \cdot 2 = 24$. Так как $u > 0$ и $v > 0$, то $u + v > 0$: $$ u + v = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} $$ Составим линейную систему уравнений: $$ \begin{cases} u + v = 2\sqrt{6}, \\ u - v = 4 \end{cases} $$ Сложим оба уравнения: $$ 2u = 2\sqrt{6} + 4 \implies u = \sqrt{6} + 2 $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ 2v = 2\sqrt{6} - 4 \implies v = \sqrt{6} - 2 $$ Найдем значения $x$ и $y$: $$ x = u^2 = (\sqrt{6} + 2)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{6} + 2^2 = 6 + 4\sqrt{6} + 4 = 10 + 4\sqrt{6} $$ $$ y = v^2 = (\sqrt{6} - 2)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{6} + 2^2 = 6 - 4\sqrt{6} + 4 = 10 - 4\sqrt{6} $$ **Ответ:** $(10 + 4\sqrt{6}; 10 - 4\sqrt{6})$.