ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.35

1) $$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 1, \\ x + y = 1. \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения по формуле суммы кубов: $$ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 1 $$ Так как из второго уравнения $x + y = 1$, подставим это значение: $$ 1 \cdot (x^2 - xy + y^2) = 1 \implies x^2 - xy + y^2 = 1 $$ Возведём второе уравнение системы в квадрат: $$ (x + y)^2 = 1^2 \implies x^2 + 2xy + y^2 = 1 $$ Вычтем из полученного уравнения равенство $x^2 - xy + y^2 = 1$: $$ (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 1 - 1 $$ $$ 3xy = 0 \implies xy = 0 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 1, \\ xy = 0. \end{cases} $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: - если $x = 0$, то $0 + y = 1 \implies y = 1$; - если $y = 0$, то $x + 0 = 1 \implies x = 1$. Ответ: $(0; 1)$, $(1; 0)$. --- 2) $$ \begin{cases} x^2 + xy = 12, \\ xy - y^2 = 2. \end{cases} $$ Умножим второе уравнение на $6$, чтобы уравнять правые части уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy = 12, \\ 6xy - 6y^2 = 12. \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ x^2 + xy - (6xy - 6y^2) = 0 $$ $$ x^2 - 5xy + 6y^2 = 0 $$ Если $y = 0$, то из второго уравнения системы получаем $0 - 0 = 2$, что неверно. Значит, $y \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $y^2$: $$ \left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 6 = 0 $$ Пусть $\frac{x}{y} = t$, тогда: $$ t^2 - 5t + 6 = 0 $$ По теореме Виета корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$. Рассмотрим два случая: 1. $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$. Подставим во второе уравнение исходной системы: $$ (2y) \cdot y - y^2 = 2 $$ $$ 2y^2 - y^2 = 2 \implies y^2 = 2 \implies y = \pm\sqrt{2} $$ - При $y_1 = \sqrt{2}$: $x_1 = 2\sqrt{2}$; - При $y_2 = -\sqrt{2}$: $x_2 = -2\sqrt{2}$. 2. $\frac{x}{y} = 3 \implies x = 3y$. Подставим во второе уравнение исходной системы: $$ (3y) \cdot y - y^2 = 2 $$ $$ 3y^2 - y^2 = 2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1 $$ - При $y_3 = 1$: $x_3 = 3 \cdot 1 = 3$; - При $y_4 = -1$: $x_4 = 3 \cdot (-1) = -3$. Ответ: $(3; 1)$, $(-3; -1)$, $(2\sqrt{2}; \sqrt{2})$, $(-2\sqrt{2}; -\sqrt{2})$. --- 3) $$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 8, \\ x - y = 2. \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности кубов: $$ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 8 $$ Подставим $x - y = 2$: $$ 2(x^2 + xy + y^2) = 8 \implies x^2 + xy + y^2 = 4 $$ Возведём второе уравнение системы в квадрат: $$ (x - y)^2 = 2^2 \implies x^2 - 2xy + y^2 = 4 $$ Вычтем это равенство из уравнения $x^2 + xy + y^2 = 4$: $$ (x^2 + xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 4 - 4 $$ $$ 3xy = 0 \implies xy = 0 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x - y = 2, \\ xy = 0. \end{cases} $$ Из уравнения $xy = 0$: - если $x = 0$, то $0 - y = 2 \implies y = -2$; - если $y = 0$, то $x - 0 = 2 \implies x = 2$. Ответ: $(0; -2)$, $(2; 0)$.