ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.30

**1.30.** **1)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, \\ x + y - 3\sqrt{xy} = 1. \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$, $y \ge 0$. Пусть $u = \sqrt{x} \ge 0$ и $v = \sqrt{y} \ge 0$. Тогда $x = u^2$, $y = v^2$, $\sqrt{xy} = uv$. Выражение $x + y = u^2 + v^2 = (u + v)^2 - 2uv$. Перепишем систему относительно $u$ и $v$: $$ \begin{cases} u + v = 4, \\ (u + v)^2 - 2uv - 3uv = 1. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} u + v = 4, \\ (u + v)^2 - 5uv = 1. \end{cases} $$ Подставим первое уравнение во второе: $$ 4^2 - 5uv = 1 $$ $$ 16 - 5uv = 1 $$ $$ 5uv = 15 \implies uv = 3. $$ Получили систему: $$ \begin{cases} u + v = 4, \\ uv = 3. \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 4t + 3 = 0 $$ $$ (t - 1)(t - 3) = 0 \implies t_1 = 1, \; t_2 = 3. $$ Оба значения неотрицательны, поэтому возможны два случая: 1) $\begin{cases} u = 1, \\ v = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} \sqrt{x} = 1, \\ \sqrt{y} = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1, \\ y = 9. \end{cases}$ 2) $\begin{cases} u = 3, \\ v = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \sqrt{x} = 3, \\ \sqrt{y} = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 9, \\ y = 1. \end{cases}$ Ответ: $(1; 9)$, $(9; 1)$. --- **2)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \dfrac{1}{y-1} - \dfrac{1}{y+1} = \dfrac{1}{x}, \\ y^2 - x - 9 = 0. \end{cases} $$ ОДЗ: $y \neq 1$, $y \neq -1$, $x \neq 0$. Преобразуем левую часть первого уравнения: $$ \frac{(y + 1) - (y - 1)}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{1}{x} $$ $$ \frac{y + 1 - y + 1}{y^2 - 1} = \frac{1}{x} $$ $$ \frac{2}{y^2 - 1} = \frac{1}{x} \implies y^2 - 1 = 2x \implies y^2 = 2x + 1. $$ Подставим полученное выражение для $y^2$ во второе уравнение: $$ (2x + 1) - x - 9 = 0 $$ $$ x - 8 = 0 \implies x = 8. $$ Найдем $y$: $$ y^2 = 2 \cdot 8 + 1 = 17 \implies y = \pm\sqrt{17}. $$ Значения $x = 8$, $y = \pm\sqrt{17}$ удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $(8; \sqrt{17})$, $(8; -\sqrt{17})$. --- **3)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35. \end{cases} $$ Разложим сумму кубов во втором уравнении по формуле: $$ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 35 $$ Так как $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$, то $x^2 - xy + y^2 = (x + y)^2 - 3xy$. Подставим $x + y = 5$: $$ 5 \cdot \left(5^2 - 3xy\right) = 35 $$ $$ 25 - 3xy = 7 $$ $$ 3xy = 18 \implies xy = 6. $$ Получили систему: $$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения: $$ t^2 - 5t + 6 = 0 $$ $$ (t - 2)(t - 3) = 0 \implies t_1 = 2, \; t_2 = 3. $$ Таким образом, получаем решения: 1) $x = 2$, $y = 3$; 2) $x = 3$, $y = 2$. Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.