ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.28

**1)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 3y = -18, \\ xy = -12. \end{cases} $$ Так как $x \neq 0$, выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = -\frac{12}{x} $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ 2x - 3 \cdot \left(-\frac{12}{x}\right) = -18 $$ $$ 2x + \frac{36}{x} + 18 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $x$ ($x \neq 0$): $$ 2x^2 + 18x + 36 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ x^2 + 9x + 18 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -9$, $x_1 \cdot x_2 = 18$. Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = -6$. Найдем соответствующие значения $y$: при $x_1 = -3$: $$ y_1 = -\frac{12}{-3} = 4; $$ при $x_2 = -6$: $$ y_2 = -\frac{12}{-6} = 2. $$ Ответ: $(-3; 4)$, $(-6; 2)$. --- **2)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x^2 - 3y^2 = -19, \\ xy = -6. \end{cases} $$ Так как $x \neq 0$, выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = -\frac{6}{x} $$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$ 2x^2 - 3 \cdot \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = -19 $$ $$ 2x^2 - 3 \cdot \frac{36}{x^2} = -19 $$ $$ 2x^2 - \frac{108}{x^2} + 19 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $x^2$ ($x \neq 0$): $$ 2x^4 + 19x^2 - 108 = 0 $$ Пусть $t = x^2$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 + 19t - 108 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 19^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-108) = 361 + 864 = 1225 = 35^2 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{-19 + 35}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{-19 - 35}{4} = -\frac{54}{4} = -13{,}5 $$ Значение $t_2 = -13{,}5$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Вернемся к замене для $t = 4$: $$ x^2 = 4 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$ Найдем соответствующие значения $y$: при $x_1 = 2$: $$ y_1 = -\frac{6}{2} = -3; $$ при $x_2 = -2$: $$ y_2 = -\frac{6}{-2} = 3. $$ Ответ: $(2; -3)$, $(-2; 3)$. --- **3)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 65, \\ xy = 28. \end{cases} $$ Воспользуемся формулой квадрата суммы: $$ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$ Подставим значения из системы: $$ (x + y)^2 = 65 + 2 \cdot 28 = 65 + 56 = 121 $$ Отсюда: $$ x + y = 11 \quad \text{или} \quad x + y = -11 $$ Рассмотрим два случая: 1) $\begin{cases} x + y = 11, \\ xy = 28. \end{cases}$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 11t + 28 = 0 $$ Корни уравнения: $t_1 = 4$, $t_2 = 7$. Получаем две пары решений: $(4; 7)$ и $(7; 4)$. 2) $\begin{cases} x + y = -11, \\ xy = 28. \end{cases}$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 + 11t + 28 = 0 $$ Корни уравнения: $t_1 = -4$, $t_2 = -7$. Получаем две пары решений: $(-4; -7)$ и $(-7; -4)$. Ответ: $(4; 7)$, $(7; 4)$, $(-4; -7)$, $(-7; -4)$.