ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.27

### 1) $$\begin{cases} x^2 + 3xy - y^2 + 2x - 5y = -64, \\ x - y = -7 \end{cases}$$ Выразим $x$ из второго уравнения системы: $$x = y - 7$$ Подставим полученное выражение вместо $x$ в первое уравнение: $$(y - 7)^2 + 3(y - 7)y - y^2 + 2(y - 7) - 5y = -64$$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$y^2 - 14y + 49 + 3y^2 - 21y - y^2 + 2y - 14 - 5y = -64$$ $$3y^2 - 38y + 35 = -64$$ $$3y^2 - 38y + 99 = 0$$ Решим полученное квадратное уравнение: $$D = (-38)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 99 = 1444 - 1188 = 256 = 16^2$$ $$y_1 = \frac{38 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{54}{6} = 9$$ $$y_2 = \frac{38 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$$ Найдём соответствующие значения $x$: 1. Если $y_1 = 9$, то: $$x_1 = 9 - 7 = 2$$ 2. Если $y_2 = \frac{11}{3}$, то: $$x_2 = \frac{11}{3} - 7 = \frac{11 - 21}{3} = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$$ Ответ: $(2; 9)$, $\left(-3\frac{1}{3}; 3\frac{2}{3}\right)$. --- ### 2) $$\begin{cases} x^2 + 3y^2 - 4x - 5y - 8 = 0, \\ x - y + 1 = 0 \end{cases}$$ Выразим $x$ из второго уравнения системы: $$x = y - 1$$ Подставим выражение во второе (первое) уравнение: $$(y - 1)^2 + 3y^2 - 4(y - 1) - 5y - 8 = 0$$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$y^2 - 2y + 1 + 3y^2 - 4y + 4 - 5y - 8 = 0$$ $$4y^2 - 11y - 3 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$$ $$y_1 = \frac{11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$$ $$y_2 = \frac{11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0{,}25$$ Найдём соответствующие значения $x$: 1. Если $y_1 = 3$, то: $$x_1 = 3 - 1 = 2$$ 2. Если $y_2 = -0{,}25$, то: $$x_2 = -0{,}25 - 1 = -1{,}25$$ Ответ: $(2; 3)$, $(-1{,}25; -0{,}25)$. --- ### 3) $$\begin{cases} 4x^2 + 5y^2 = 16, \\ x^2 + 5y^2 = 25 \end{cases}$$ Вычтем почленно второе уравнение из первого: $$(4x^2 + 5y^2) - (x^2 + 5y^2) = 16 - 25$$ $$3x^2 = -9$$ $$x^2 = -3$$ Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любых $x \in \mathbb{R}$), уравнение $x^2 = -3$ не имеет действительных корней. Следовательно, система уравнений не имеет решений. Ответ: решений нет. --- ### 4) $$\begin{cases} x^2 + xy = 15, \\ y^2 + xy = 10 \end{cases}$$ Сложим почленно оба уравнения системы: $$(x^2 + xy) + (y^2 + xy) = 15 + 10$$ $$x^2 + 2xy + y^2 = 25$$ $$(x + y)^2 = 25$$ Отсюда получаем два возможных случая: $x + y = 5$ или $x + y = -5$. Вынесем общий множитель за скобки в первом уравнении исходной системы: $$x(x + y) = 15$$ Рассмотрим каждый случай: 1. Если $x + y = 5$: $$x \cdot 5 = 15 \implies x_1 = 3$$ $$y_1 = 5 - x_1 = 5 - 3 = 2$$ 2. Если $x + y = -5$: $$x \cdot (-5) = 15 \implies x_2 = -3$$ $$y_2 = -5 - x_2 = -5 - (-3) = -2$$ Ответ: $(3; 2)$, $(-3; -2)$.