ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.25

1) $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = -21, \\ x + y = -3 \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов: $$ (x - y)(x + y) = -21 $$ Подставим значение $x + y = -3$ из второго уравнения: $$ (x - y) \cdot (-3) = -21 $$ $$ x - y = 7 $$ Составим и решим систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = 7 \end{cases} $$ Сложим оба уравнения: $$ 2x = 4 \implies x = 2 $$ Подставим $x = 2$ в уравнение $x + y = -3$: $$ 2 + y = -3 \implies y = -5 $$ Ответ: $(2; -5)$. --- 2) $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 74, \\ x - y = 2 \end{cases} $$ Выразим $x$ из второго уравнения: $$ x = y + 2 $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ (y + 2)^2 + y^2 = 74 $$ $$ y^2 + 4y + 4 + y^2 - 74 = 0 $$ $$ 2y^2 + 4y - 70 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ y^2 + 2y - 35 = 0 $$ По теореме Виета: $$ y_1 = 5, \quad y_2 = -7 $$ Найдем соответствующие значения $x$: $$ x_1 = 5 + 2 = 7 $$ $$ x_2 = -7 + 2 = -5 $$ Ответ: $(7; 5)$, $(-5; -7)$. --- 3) $$ \begin{cases} x^2 + 4y^2 = 34, \\ x + y = 7 \end{cases} $$ Выразим $x$ из второго уравнения: $$ x = 7 - y $$ Подставим выражение в первое уравнение: $$ (7 - y)^2 + 4y^2 = 34 $$ $$ 49 - 14y + y^2 + 4y^2 - 34 = 0 $$ $$ 5y^2 - 14y + 15 = 0 $$ Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: $$ D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 15 = 196 - 300 = -104 $$ Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система уравнений не имеет действительных решений. Ответ: решений нет. --- 4) $$ \begin{cases} x^2 - 2xy - y^2 = 1, \\ x + y = 2 \end{cases} $$ Выразим $x$ из второго уравнения: $$ x = 2 - y $$ Подставим выражение в первое уравнение: $$ (2 - y)^2 - 2y(2 - y) - y^2 = 1 $$ Раскроем скобки: $$ 4 - 4y + y^2 - 4y + 2y^2 - y^2 = 1 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 2y^2 - 8y + 3 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 64 - 24 = 40 $$ $$ y = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2} $$ Получаем два значения для $y$: $$ y_1 = \frac{4 + \sqrt{10}}{2}, \quad y_2 = \frac{4 - \sqrt{10}}{2} $$ Найдем соответствующие значения $x = 2 - y$: $$ x_1 = 2 - \frac{4 + \sqrt{10}}{2} = \frac{4 - 4 - \sqrt{10}}{2} = -\frac{\sqrt{10}}{2} $$ $$ x_2 = 2 - \frac{4 - \sqrt{10}}{2} = \frac{4 - 4 + \sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2} $$ Ответ: $\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}; \frac{4 + \sqrt{10}}{2}\right)$, $\left(\frac{\sqrt{10}}{2}; \frac{4 - \sqrt{10}}{2}\right)$.